ഗ്രൂപ്പ് (ഗണിതശാസ്ത്രം)

ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം

http://ml.wikipedia.org/wiki/Group(Mathematics)

റൂബിക്സ് ക്യൂബിന്റെ സാധ്യമായ പുനർവിന്യാസങ്ങൾ,റുബിക് ക്യൂബ് ഗ്രൂപ്പ് എന്ന ഗ്രൂപ്പുണ്ടാക്കുന്നു.

ആധുനിക ബീജഗണിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളിൽ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒന്നാണ് ഗ്രൂപ്പ്. അംഗങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ഗണവും ഈ ഗണത്തിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന സംക്രിയയും ചേർന്നാണ് ഗ്രൂപ്പ് ഉണ്ടാകുന്നത്. ഗണത്തിലെ ഏത് രണ്ട് അംഗങ്ങൾക്കിടയിലും സംകാരകം ഉപയോഗിച്ച് മൂന്നാമതൊരു അംഗത്തെ സൂചിപ്പിക്കാൻ സാധിക്കുന്നു. ഗ്രൂപ്പ് എന്ന ആശയം രസതന്ത്രത്തിലും ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലും വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. തന്മാത്രകളുടെ സുഘടന വിവരിക്കാനും ആപേക്ഷികത വിവരിക്കാനും ഈ ആശയം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

പൂർണ്ണസംഖ്യാഗണവും ദ്വയാങ്ക സംക്രിയയായ സങ്കലനവും ചേർന്ന് നിർമ്മിക്കുന്ന ലളിതമായ ബീജീയ ഘടന ഗ്രൂപ്പിന്‌ ഉദാഹരണമാണ്‌.

1830ൽ ഗാൽവ തുടങ്ങിവെച്ച ബഹുപദസമവാക്യങ്ങളുടെ പഠനമാണ് ഗ്രൂപ്പ് എന്ന ആശയത്തിന് തുടക്കമിട്ടത്. തുടർന്ന് ജ്യാമിതിയിലും സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിലും ഇത് പ്രയോഗിച്ചുതുടങ്ങി.

നിർവചനം

ഗ്രൂപ്പ് എന്നതിന്റെ നിർവചനം ദ്വയാങ്ക സംക്രിയ, ബീജീയ ഘടന എന്നിവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ്.

അശൂന്യമായ ഒരു ഗണത്തിൽ നിർവ്വചിക്കുന്ന ദ്വയാങ്ക സംക്രിയ ഓരോ ക്രമിത ജോടിയേയും ഗണത്തിലെ മറ്റൊരു അംഗവുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ഫലനമാണ്‌. S എന്ന ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളാണ്‌ a, b എന്നും ഗണത്തിൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടുള്ള ദ്വയാങ്കസംക്രിയ വഴി (a,b) എന്ന ക്രമിതജോടി c യുമായി ബന്ധിപ്പിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്നും കരുതുക. ദ്വയാങ്കസംക്രിയയെ * എന്ന് സൂചിപ്പിച്ചാൽ ഇതിനെ a*b=c എന്നെഴുതാം. ഗണത്തിലെ ഏത് രണ്ട് അംഗങ്ങളുടെ ക്രമിതജോടിയെയും ദ്വയാങ്കസംക്രിയ അതേ ഗണത്തിലെ അംഗവുമായിട്ടായിരിക്കണം ബന്ധിപ്പിക്കുന്നത്. ഇതാണ് സമാപ്തി സ്വഭാവം (Closure Property).

ഉദാഹരണമായി, പൂർണ്ണസംഖ്യാഗണത്തിൽ സങ്കലനം, ഗുണനം, വ്യവകലനം എന്നിവ ദ്വയാങ്ക സംക്രിയകളാണ്‌. എന്നാൽ ഹരണം ദ്വയാങ്ക സംക്രിയയല്ല.

ഒരു അശൂന്യഗണത്തിൽ ഒന്നോ അതിലധികമോ ദ്വയാങ്ക സംക്രിയകളുണ്ടെങ്കിൽ അതിനെ ബീജീയ ഘടന എന്ന് പറയുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന് പൂർണ്ണസംഖ്യാഗണത്തിൽ ($\mathbb{Z}$) സങ്കലനവും ഗുണനവും ദ്വയാങ്ക സംക്രിയകളാണ്. അത് ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കാം : ($\mathbb{Z}$,+,$\times$).

G ഒരു അശൂന്യഗണവും * അതിൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന ദ്വയാങ്ക സംക്രിയയും ആയ ബീജീയഘടന (G,*) ഒരു ഗ്രൂപ്പ് ആവണമെങ്കിൽ താഴെ പറയുന്ന നിബന്ധനകൾ പാലിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

• സാഹചര്യനിയമം : G യിലുള്ള എല്ലാ a,b,c യ്ക്കും (a*b)*c=a*(b*c) ആയിരിക്കണം
• തൽസമകത്തിന്റെ നിലനിൽപ് : G യിലുള്ള എല്ലാ a യ്ക്കും a*e=a=e*a ആകുന്ന തരത്തിലുള്ള e എന്ന അംഗം നിർബന്ധമായും G യിൽ ഉണ്ടായിരിക്കണം
• വിപരീതത്തിന്റെ നിലനില്പ് : G ലുള്ള ഓരോ aയ്ക്കും, a*a^-1=a^-1*a=e ആകുന്ന തരത്തിലുള്ള a^-1 എന്ന അംഗം നിർബന്ധമായും G യിൽ ഉണ്ടായിരിക്കണം

ഉദാഹരണങ്ങൾ

പൂർണ്ണസംഖ്യാഗണം

$\mathbb{Z}$ എന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യാഗണവും + എന്ന സംക്രിയയും പരിഗണിക്കുക.

1. രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ തമ്മിൽ കൂട്ടിയാൽ വീണ്ടും ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ തന്നെ ലഭിക്കുന്നു. അതായത് ഏതു രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ a,bയ്ക്കും a + b ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയായിരിക്കും. അതിനാൽ, സമാപ്തി സ്വഭാവം പാലിക്കുന്ന + ഒരു ദ്വയാങ്ക സംക്രിയയാണ്‌.
2. ഏത് മൂന്ന് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ a,b,cയ്ക്കും (a+b)+c=a+(b+c) ആയിരിക്കും. അതായത്, ആദ്യ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ തുക മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യയോട് കൂട്ടിയാലും രണ്ടാമത്തേയും മൂന്നാമത്തേയും സംഖ്യകളുടെ തുക ആദ്യത്തെ സംഖ്യയോട് കൂട്ടിയാലും കിട്ടുന്ന ഉത്തരം തുല്യമായിരിക്കും. ഇപ്രകാരം + സാഹചര്യനിയമം പാലിക്കുന്നു.
3. 0 ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. a ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയായാൽ ഏത് aയ്ക്കും a+0=0+a=a ആയിരിക്കും. അതായത് 0 തൽസമകമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന് 2+0=0+2=2
4. ഏത് പൂർണ്ണസംഖ്യ aയ്ക്കും -a ഉണ്ട്, എങ്ങനെയെന്നാൽ a+(-a)=0=(-a)+a. ഇവിടെ (-a) സങ്കലനവിപരീതമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന് 2+(-2)=0=(-2)+2. ഇവിടെ 2ന്റെ സങ്കലന വിപരീതമാണ് -2.

ഇതിൽ നിന്ന് ($\mathbb{Z}$,+) ഒരു ഗ്രൂപ്പാണെന്നു വരുന്നു.

ഒരു സുഘടനാഗ്രൂപ്പ്

ഒരു സമചതുരത്തിൽ പരിക്രമണമോ പ്രതിഫലനമോ ചെയ്താൽ സമചതുരത്തിന്റെ സുഘടനകൾ ലഭിയ്ക്കും.ഇത് 3 വിധത്തിലാകാം :

id (തൽസമകം)	r1 (90° വലത്തോട്ട് കറക്കം)	r2 (180° വലത്തോട്ട് കറക്കം)	r3 (270° വലത്തോട്ട് കറക്കം)
fv (ലംബചലനം)	fh (തിരശ്ചീനചലനം)	fd (വികർണ്ണചലനം)	fc (വിപരീതവികർണ്ണചലനം)
സമചതുരത്തിന്റെ സമമിതി ഗ്രൂപ്പിലെ (D4) അംഗങ്ങൾ. തിരിച്ചറിയാൻ വേണ്ടി മാത്രമാണ്‌ ശീർഷങ്ങൾക്ക് നിറങ്ങളും സംഖ്യകളും നൽകിയിട്ടുള്ളത്

1. തൽസമക സംക്രിയ : അതായത് സമചതുരത്തിൽ യാതൊരു സംക്രിയയും പ്രയോഗിയ്ക്കാതെ തന്നതുപോലെ വ്യത്യാസമില്ലാതെ നിലനിർത്തുക.ഇതിനെ id എന്ന് സൂചിപ്പിയ്ക്കാം.
2. പരിക്രമണം : 90°,180° ,270° പരിക്രമണങ്ങൾ നടത്തുക.ഇതിനെ യഥാക്രമം r1,r2,r3എന്ന് സൂചിപ്പിയ്ക്കുന്നു.
3. പ്രതിഫലനം : വികർണ്ണങ്ങളിലൂടേയോ തിരശ്ചീനമോ ലംബമോ ആയ രേഖകളിലൂടേയോ ഉള്ള പ്രതിഫലനം.യഥാക്രമം fd , fc എന്നും fh, fv എന്നും സൂചിപ്പിക്കാം.

രണ്ട് സുഘടനകൾ ഒന്നിനുപുറകെ ഒന്നായി പ്രയോഗിക്കുന്നതിനെ ഈ ഗണത്തിനുമേൽ സംക്രിയയായി നിർവചിക്കാം. ഫലനമിശ്രണത്തെ (Composition of Functions) അടിസ്ഥാനമാക്കി ആദ്യം a എന്ന സുഘടനയും ശേഷം b എന്ന സുഘടനയും പ്രയോഗിക്കുന്നതിനെ b • a എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം.

ഈ സുഘടനക്കുള്ള ഗ്രൂപ്പ് പട്ടിക ഇവിടെ കൊടുക്കുന്നു.

Group table of D₄

•	id	r1	r2	r3	fv	fh	fd	fc
id	id	r1	r2	r3	fv	fh	fd	fc
r1	r1	r2	r3	id	fc	fd	fv	fh
r2	r2	r3	id	r1	fh	fv	fc	fd
r3	r3	id	r1	r2	fd	fc	fh	fv
fv	fv	fd	fh	fc	id	r2	r1	r3
fh	fh	fc	fv	fd	r2	id	r3	r1
fd	fd	fh	fc	fv	r3	r1	id	r2
fc	fc	fv	fd	fh	r1	r3	r2	id
ചുവപ്പുനിറത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുള്ള id, r1, r2, and r3ഇവ ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പ് ഉണ്ടാക്കുന്നു . വാമസഹഗണവും,ഋജുസഹഗണവും യഥാക്രമം പച്ചനിറത്തിലും മഞ്ഞനിറത്തിലുമായി സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

D4 ഗ്രൂപ്പ് സ്വയം‌പ്രമാണസിദ്ധാന്തങ്ങൾ അനുസരിക്കുന്നു.

1. സമാപ്തി സ്വഭാവം അനുസരിക്കുന്നു. അതായത് രണ്ട് സുഘടനകൾ ഒന്നിനുപുറകെ ഒന്നായി പ്രയോഗിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്നത് ഒരു സുഘടന തന്നെയായിരിക്കും. ഉദാഹരണമായി r3 • fh = fc (തിരശ്ചീനചലത്തിനുശേഷം 270⁰ കറക്കം പ്രയോഗിച്ചാൽ വിപരീതവികർണ്ണചലനമാണ് അനുഭവം.വിപരീതവികർണ്ണചലനവും ഒരു സുഘടനയാണ്)
2. സാഹചര്യനിയമം അനുസരിക്കുന്നു.അതായത് a, b, c എന്നിവ സുഘടനകളാണെങ്കിൽ (a • b) • c = a • (b • c) എന്ന് ഗ്രൂപ്പ് പട്ടികയിൽ നിന്ന് മനസ്സിലാക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന് (fd • fv) • r2 , fd • (fv • r2) ഇവ പരിഗണിക്കുക. (fd • fv) • r2 = r3 • r2 = r1, fd • (fv • r2) = fd • fh = r1.
   രണ്ട് വഴികളിലൂടെയും ലഭിക്കുന്ന ഉത്തരങ്ങൾ തുല്യമായതിനാൽ • സാഹചര്യനിയമം അനുസരിക്കുന്നു.
3. തൽസമക അംഗം id ആണ്.എന്തെന്നാൽ ഏതൊരു സുഘടന aക്കും id • a = a, a • id = a. ആണ്.
4. ഏതൊരു സുഘടനയുടേയും വിപരീത അംഗം a •b=id=b • a അനുസരിക്കുന്നു.

ഗ്രൂപ്പ് പട്ടികയിൽ നിന്നും id^-1=id, r1^-1=r3, r2^-1=r2, r3^-1=r1, fv^-1=fv, fh^-1=fh, fd^-1=fd, fc^-1=fc എന്ന് കിട്ടുന്നു.

അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ

ഉപഗ്രൂപ്പ്

(G,* ) ഒരു ഗ്രൂപ്പും H എന്നത് Gയുടെ ഒരു അശൂന്യ ഉപഗണവുമാണ് എന്നും കരുതുക. Gയുടെ ഉപഗ്രൂപ്പ് (Subgroup) ആവണം H എങ്കിൽ (H,*) സ്വയം ഒരു ഗ്രൂപ്പ് ആയിരിക്കണം. (G,* ) ഒരു ഗ്രൂപ്പും e തൽസമകവുമാണെങ്കിൽ {e} യും G എന്ന ഗ്രൂപ്പും Gയുടെ ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ ആയിരിക്കും. ഇവയെ അനുചിത ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ എന്ന് പറയുന്നു. ഇവയൊഴിച്ചുള്ള ഉപഗ്രൂപ്പുകളെ ഉചിത ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ (Proper subgroups) എന്നും പറയുന്നു.

ക്രമഗ്രൂപ്പ്

ക്രമനിയമം (Commutativity) പാലിക്കുന്ന ഗ്രൂപ്പുകളെ ക്രമഗ്രൂപ്പ് (Commutative/Abelian group) എന്ന് പറയുന്നു. അതായത് Gയിലെ എല്ലാ a,b ക്കും a*b=b*a ആണെങ്കിൽ (G,*) ഒരു ക്രമഗ്രൂപ്പ് ആണ്.

ഉദാഹരണമായി സങ്കലനം സംക്രിയയായ പൂർണ്ണസംഖ്യാഗണം ($\mathbb{Z}$,+) ഒരു ക്രമഗ്രൂപ്പ് ആണ്.

പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പ്

ഒരു ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളെ എണ്ണാൻ സാധിക്കുമെങ്കിൽ അതിനെ പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പ് (Finite group) എന്ന് പറയുന്നു. ഉദാഹരണമായി, മേൽപറഞ്ഞ D₄ സുഘടനാഗ്രൂപ്പ് ഒരു പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പാണ്‌

അനന്തഗ്രൂപ്പ്

അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം അനന്തമായുള്ള ഗ്രൂപ്പിനെ അനന്തഗ്രൂപ്പ് (Infinite group) എന്ന് പറയുന്നു. ഉദാഹരണം ($\mathbb{Z}$,+)

ചാക്രികഗ്രൂപ്പ്

1ന്റെ ആറ് സമ്മിശ്രമൂലങ്ങൾ ഒരു ചാക്രികഗ്രൂപ്പ് ഉണ്ടാക്കുന്നു. z ഒരു അടിസ്ഥാന അംഗമാണ്.എന്നാൽ z² അല്ല, എന്തെന്നാൽ z ന്റെഒറ്റസംഖ്യാകൃതികൾ z²ന്റെ കൃതികളല്ല.

(G,•) എന്ന ഗ്രൂപ്പ് പരിഗണിക്കുക. a ഇതിലെ അംഗവും e തൽസമകവുമാണെങ്കിൽ a¹=a, a²=a•a, a³=a•a•a,..., a⁰=e, a^-2=a^-1•a^-1, ...എന്നിങ്ങനെ നിർവ്വചിക്കുക. (G,•) ഒരു ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പ് (Cyclic group) ആവണമെങ്കിൽ ഈ നിബന്ധന പാലിക്കുന്ന b എന്ന അംഗം Gയിൽ ഉണ്ടായിരിക്കണം :

• Gയിലെ ഓരോ അംഗവും bⁿ എന്ന രൂപത്തിലുള്ളതായിരിക്കണം ഇവിടെ n-ന്‌ പൂർണ്ണസംഖ്യകളേ വിലകളായി സ്വീകരിക്കാനാവുകയുള്ളൂ.

ഇവിടെ b യെ, G യുടെ ജനകം(Generator) അഥവാ അടിസ്ഥാന അംഗം (Primitive element) എന്ന് പറയുന്നു. G എന്ന ചാക്രികഗ്രൂപ്പിനെ G=(b) എന്നോ G=<b> എന്നോ സൂചിപ്പിക്കാം. ഒരു ചാക്രികഗ്രൂപ്പിന്‌ ഒന്നിലധികം ജനകങ്ങളുണ്ടാകാം.

അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പ്

(G,*)യുടെ ഉപഗ്രൂപ്പാണ് N എന്ന് കരുതുക. G-യിലെ അംഗമാണ്‌ g എന്നും N-ലെ അംഗമാണ്‌ n എന്നും വരുന്ന അവസ്ഥകളിലെല്ലാം gNg^-1 N-ലെ അംഗമാണ്‌ എന്നുണ്ടെങ്കിൽ Gയുടെ അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പാണ്‌ (normal subgroup) N എന്നു പറയുന്നു.

സഹഗണം

(G,•) എന്ന ഗ്രൂപ്പ് സങ്കൽപിക്കുക. G യിലെ ഒരംഗമാണ്‌ g എങ്കിൽ gH = {g•h, h ∈ H}, Hg = {h•g, h ∈ H} എന്നിവയെ യഥാക്രമം G യുടെ ഇടത് സഹഗണം എന്നും വലത് സഹഗണം എന്നും വിളിക്കുന്നു. G ഒരു ക്രമഗ്രൂപ്പ് ആണെങ്കിൽ ഇടത് സഹഗണവും വലത് സഹഗണവും തുല്യമായിരിക്കും.

ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ സഹഗണങ്ങളെല്ലാം ചേർന്ന് അതിന്റെ ഒരു വിഭജനം (partition) നിർമ്മിക്കുന്നു. അതായത്, ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉപഗണങ്ങളുടെ യോഗം ആ ഗ്രൂപ്പ് തന്നെയായിരിക്കും. ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ രണ്ട് ഇടത് സഹഗണങ്ങൾ തുല്യമോ അവയുടെ സംഗമം ശൂന്യഗണമോ ആയിരിക്കും.

ഒരു സഹഗണവും ശൂന്യഗണമായിരിയ്ക്കുകയില്ല.എന്തെന്നാൽ Gഎന്ന ഗ്രൂപ്പിനേയുംH എന്ന ഉപഗ്രൂപ്പിനേയുംപരിഗണിയ്ക്കുക. g ∈ Gഎന്നും കരുതുക.Gയിലെ തൽസമക അംഗം e,H ലേയും തൽസമകമായിരിക്കും. അപ്പോൾ‍ g=eg ∈ Hg ഉം g=ge ∈ gH ഉം ആയിരിയ്ക്കും.ആയതിനാൽ സഹഗണങ്ങൾ ശൂന്യമായിരിക്കുകയില്ല.

കോടി

ഒരു പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പിലുള്ള അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ കോടി (Order) എന്ന് പറയുന്നു. (G,•) എന്ന പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടിയെ O(G) ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിയ്ക്കുന്നു. ഒരു അനന്തഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടി അനന്തമായിരിക്കും.കോടി അനന്തമായ ഒരു ഗ്രൂപ്പാണ് ($\mathbb{Z}$,+).

ഗ്രൂപ്പ് സംകാരകം • ആയ ഒരു ഗ്രൂപ്പിലുള്ള അംഗമാണ് a, അങ്ങനെയെങ്കിൽ aⁿ=e ആയ ഏറ്റവും ചെറിയ ധനപൂർണ്ണസംഖ്യ n നെ a യുടെ കോടി എന്ന് പറയുന്നു. a ജനകമായ ചാക്രിക ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടിക്ക് തുല്യമാണ്‌ a യുടെ കോടി. അനന്തഗ്രൂപ്പിലെ ചില അംഗങ്ങൾക്ക് കോടി നിർ‌വ്വചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കണമെന്ന് നിർബന്ധമില്ല.

ഘടക ഗ്രൂപ്പ്

N എന്ന ഒരു അഭിലംബ ഗ്രൂപ്പ് Gയുടെ ഘടക ഗ്രൂപ്പ് അഥവാ ഭാഗഫല ഗ്രൂപ്പ് ആവുന്നതിനുള്ള വ്യവസ്ഥ താഴെ പറയുന്നു. G / N = {gN, g ∈ G}.ഇവിടെ G / N ഘടക ഗ്രൂപ്പിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഉല്പന്ന ഗ്രൂപ്പ്

Gഒരു ഗ്രൂപ്പും Hഉം Kയും G=HK യും H∩K={e}യും ആയ Gയുടെ 2 ഉപഗ്രൂപ്പുകളും ആയാൽ G=HXK യെ ഉല്പന്ന ഗ്രൂപ്പ് എന്ന് പറയുന്നു.

ഹോമോമോർഫിസം

(G,*)എന്ന ഗ്രൂപ്പിൽ നിന്നും (G',o)എന്ന ഗ്രൂപ്പിലേക്കുള്ള f എന്ന ചിത്രണം ഹോമോമോർഫിസം ആവണമെങ്കിൽ Gലെ എല്ലാa,b f(a*b)=f(a)of(b) ആയിരിക്കണം.Gൽ നിന്നും G'ലേക്കുള്ള ഒരു ഹോമോമോർഫിസം fഎന്ന് കരുതുക.അങ്ങനെയെങ്കിൽ f(e)=e',f(x^-1)=(f(x))^-1ആയിരിക്കും.അതായത് Gയിലെ തൽസമകമായ eയുടെ fപ്രതിബിംബംG'ലെ തൽസമകമായ e' ആയിരിക്കും.കൂടാതെ Gലെ ഒരംഗത്തിന്റെ വിപരീതത്തിന്റെ fപ്രതിബിംബം G'ലെ fപ്രതിബിംബത്തിന്റെ വിപരീതത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും.

ഹോമോമോർഫിസത്തിന്റെ കേർണ്‌ൽ

fഒരു ഹോമോമോർഫിസം ആണ്.K={x ∈G/f(x)=e',G'ലെ തൽസമകം} എന്ന ഗണത്തേയാണ്‌ ‍കേർണ്‌ൽ എന്ന് വിശേഷിപ്പിക്കുന്നത്.ഇപ്രകാരം Ker fഎന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.Ker fഎപ്പോഴും ഒരു അശൂന്യഗണമായിരിക്കും എന്തെന്നാൽ f(e)=e' ആയതിനാൽ e ∈Ker f

ഐസോമോർഫിസം

G,G'എന്നീ രണ്ട് ഗ്രൂപുകൾ ഐസോമോർഫിക് ആണെന്ന് പറയണമെങ്കിൽ Gൽ നിന്നും G'ലേക്കുള്ള f എന്ന ചിത്രണം

1. 1-1 ആയിരിക്കണം കൂടാതെ
2. Gലുള്ള എല്ലാ x,yക്കും f(xy)=f(x)f(y)

ഗ്രൂപ്പിന്റെ പ്രത്യേകതകൾ

(G,*)എന്ന ഒരു ഗ്രൂപ്പിലെ

1.തൽസമകം അദ്വിതീയമാണ്

തെളിവ്:

വിപരീതമായി e,fഎന്നീ രണ്ട് തൽസമകങ്ങളുണ്ടെന്ന് കരുതുക.e ഒരു തൽസമകവും f ഗ്രൂപ്പിലെ ഒരു അംഗവുമാണെങ്കിൽ

e*f=fഎന്നും f തൽസമകവും e ഗ്രൂപ്പിലെ ഒരു അംഗവുമാണെങ്കിൽ f*e=e എന്നും കിട്ടുന്നു.

അതായത് e=fഎന്ന് കിട്ടുന്നു.

2.എല്ലാ aയ്ക്കും ഒരു അദ്വിതീയ‌വിപരീതഅംഗംa^-1 ഉണ്ടായിരിക്കും'

തെളിവ്:

ഏതൊരു അംഗം aയ്ക്കും x,yഎന്നീ രണ്ട് വിപരീതാംഗങ്ങളുണ്ടെന്ന് കരുതുക.eഎന്ന തൽസമകത്തേയും പരിഗണിക്കുക.

ആയതിനാൽ x*a=a*x=e എന്നും y*a=a*y=e എന്നും ലഭിക്കുന്നു.ഇതിൽ നിന്നും x=x*e=x*(a*y)=(x*a)*y=e*y=yഎന്ന് ലഭിക്കും.

3.എല്ലാ a ക്കും a^-1-1=a

തെളിവ്:

വിപരീതാംഗത്തിന്റെ നിർവ്വചനത്തിൽ നിന്ന് തന്നെ a^-1-1=a എന്ന് കിട്ടുന്നു.

4.എല്ലാ a,bയ്ക്കും (a,b)^-1=b^-1a^-1

തെളിവ്:

ആദ്യം (a*b)(b^-1a^-1) പരിഗണിക്കുക.

(a*b)(b^-1a^-1) =(a*b)*X=a*(b*X)=a(b(b^-1a^-1))=a*(b*b^-1)a^-1=a(ea^-1)=a*a^-1=e

ഇപ്രകാരം (b^-1*a^-1)(a*b) ചെയ്താലും e ലഭിക്കുന്നു.

ആയതിനാൽ (a*b)(b^-1a^-1) =e= (b^-1*a^-1)(a*b)

ഉദാഹരണങ്ങളും പ്രയോഗങ്ങളും

സംഖ്യകൾ

പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ,ഭിന്നസംഖ്യകൾ തുടങ്ങിയ പല സംഖ്യാസമ്പ്രദായങ്ങളും പ്രകൃത്യാതന്നെ ഗ്രൂപ്പിന്റെ സ്വഭാവങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.ഒന്നിലധികം സംകാരകങ്ങൾ ഇത്തരം ഗ്രൂപ്പിൽ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ വലയം,ക്ഷേത്രം എന്നിവയുണ്ടാകുന്നു.

പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ

(Z,+)ഒരു ഗ്രൂപ്പ് ആണ്.എന്നാൽ (Z,'.') ഗ്രൂപ്പ് അല്ല.എന്തെന്നാൽ ഗണത്തിലെ 1,-1 എന്നീ സംഖ്യകൾക്കൊഴികെ വേറൊരു സംഖ്യക്കും വിപരീത അംഗം നിലനിൽക്കുന്നില്ല.ഉദാഹരണത്തിന് 2 എന്ന സംഖ്യയുടെ ഗുണനവിപരീതാംഗം 1/2 ആണ്.എന്നാൽ ഇതൊരു ഭിന്നസംഖ്യയാണ്.

ഭിന്നസംഖ്യകൾ

(Q,'.')എന്ന ഭിന്നസംഖ്യാഗണം ഒരു ഗ്രൂപ്പാവുന്നത് Q \ {0} = {q ∈ Q, q ≠ 0} ആവുമ്പോഴാണ്.എന്തെന്നാൽ 0ന്റെ ഗുണനവിപരീതഅംഗം 1/0 നിർവ്വചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല.ആയതിനാൽ 0 ഒഴിച്ചാൽ Qഎന്ന ഗണം ക്രമ ഗ്രൂപ്പ് ആണ്.

പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പ്

കോടി പരിബദ്ധമായ ഏതു ഗ്രൂപ്പിനേയും പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പ് എന്ന് പറയാം.സുഘടനാഗ്രൂപ്പ്,ക്രമചയ ഗ്രൂപ്പ് എന്നിവ പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളാണ്.ഉദാഹരണത്തിന് A,B,Cഎന്നീ 3 അക്ഷരങ്ങളുള്ള ഒരു സുഘടനാഗ്രൂപ്പാണ് G എന്ന് കരുതുക.Gയെ S3എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം.S3ൽ 3!=6അംഗങ്ങളുണ്ടായിരിക്കും,ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA എന്നിങ്ങനെ.എതൊരു പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പിനേയും ഒരു സുഘടനാഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പായി അവതരിപ്പിക്കാം എന്ന കെ‌യ്‌ലീ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനമായി S3യെ പരിഗണിക്കാം.ഒരു സമഭുജത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളെ ആധാരമാക്കിയും സുഘടനഗ്രൂപ്പ് വിവരിക്കാവുന്നതാണ്.ഒരു അംഗത്തിന്റെ കോടി എന്നാൽ ആ അംഗം ഉണ്ടാക്കുന്ന ചാംക്രികഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടി ആണ്.ലെഗ്രാൻജെ സിദ്ധാന്തം ഉപഗ്രൂപ്പിനേയും കോടിയേയും ബന്ധപ്പെടുത്തിയാണ് പ്രസ്താവിച്ചിരിക്കുന്നത്.

സുഘടനാഗ്രൂപ്പ്

സുഘടനകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഗ്രൂപ്പുകളാണ് സുഘടനാഗ്രൂപ്പ്.ഈ സുഘടനകൾ ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങൾ,ബീജീയവാചകങ്ങൾ എന്നിവയാകാം.രസതന്ത്രത്തിൽ തന്മാത്രാ സുഘടനയും ക്രിസ്റ്റൽ സുഘടനയും വിവരിക്കാൻ സമഷ്ടി ഗ്രൂപ്പ്,പോയന്റ് ഗ്രൂപ്പ് എന്നിവ ഉപയോഗിക്കാം.ക്വാണ്ടം ബലതന്ത്രം ഉപയോഗിച്ച് ഈ സവിശേഷതകളെല്ലാം വിവരിക്കാൻ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിന് സാധിക്കും.ഉദാഹരണത്തിന് നിശ്ചിത ക്വാണ്ടം നിലകൾക്കിടയിൽ പ്രകാശിതസംക്രമണം കാണിക്കാൻ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നു.കൂടാതെ ഒരു ഫേസ് സംക്രമണത്തിന് വിധേയമാവുന്ന വസ്തുവിന്റെ ഭൗതികഗുണങ്ങളിലുണ്ടാവുന്ന മാറ്റങ്ങൾ വിവരിക്കാനും ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കാം.

അവലംബം

Modern Algebra ലേഖകൻ Chatterji

• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1 , Chapter 2 contains an undergraduate-level exposition of the notions covered in this article.
• Devlin, Keith (2000), The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible, Owl Books, ISBN 978-0-8050-7254-9 , Chapter 5 provides a layman-accessible explanation of groups.
• Fulton, William & Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6, ISBN 978-0-387-97495-8 .
• Hall, G. G. (1967), Applied group theory, American Elsevier Publishing Co., Inc., New York, MR0219593 , an elementary introduction.
• Herstein, Israel Nathan (1996), Abstract algebra (3rd ed.), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc., MR1375019, ISBN 978-0-13-374562-7 .
• Herstein, Israel Nathan (1975), Topics in algebra (2nd ed.), Lexington, Mass.: Xerox College Publishing, MR0356988 .
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211, Berlin, New York, MR1878556, ISBN 978-0-387-95385-4 .
• Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-22025-3 .
• Ledermann, Walter (1953), Introduction to the theory of finite groups, Oliver and Boyd, Edinburgh and London, MR0054593 .
• Ledermann, Walter (1973), Introduction to group theory, New York: Barnes and Noble, OCLC 795613 .
• Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6 .