ഗ്രൂപ്പ് (ഗണിതശാസ്ത്രം)

വിക്കിപീഡിയ, ഒരു സ്വതന്ത്ര വിജ്ഞാനകോശം.

ഈ ലേഖനം ഏതെങ്കിലും സ്രോതസ്സുകളില്‍ നിന്നുള്ള വേണ്ടത്ര തെളിവുകളെ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്നില്ല. ദയവായി യോഗ്യങ്ങളായ സ്രോതസ്സുകളില്‍ നിന്നുമുള്ള അവലംബങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്ത് ലേഖനം മെച്ചപ്പെടുത്തുക. നിലവാരമില്ലാത്ത വസ്തുതകള്‍ ചോദ്യം ചെയ്യപ്പെടുകയും നീക്കപ്പെടുകയും ചെയ്തേക്കാം.

വിക്കിപീഡിയയുടെ ഗുണനിലവാരത്തിലും, മാനദണ്ഡത്തിലും എത്തിച്ചേരാന്‍ ഈ ലേഖനം വൃത്തിയാക്കി എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്‌. ഈ ലേഖനത്തെക്കുറിച്ച് കൂടുതല്‍ വിശദീകരണങ്ങള്‍ നല്‍കാനാഗ്രഹിക്കുന്നെങ്കില്‍ ദയവായി സംവാദം താള്‍ കാണുക.

റൂബിക്സ് ക്യൂബിന്റെ സാധ്യമായ പുനര്‍വിന്യാസങ്ങള്‍,റുബിക് ക്യൂബ് ഗ്രൂപ്പ് എന്ന ഗ്രൂപ്പുണ്ടാക്കുന്നു.

ആധുനിക ബീജഗണിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളില്‍ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒന്നാണ് ഗ്രൂപ്പ്. അംഗങ്ങള്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ഗണവും ഈ ഗണത്തില്‍ നിര്‍വചിച്ചിരിക്കുന്ന സംക്രിയയും ചേര്‍ന്നാണ് ഗ്രൂപ്പ് ഉണ്ടാകുന്നത്. ഗണത്തിലെ ഏത് രണ്ട് അംഗങ്ങള്‍ക്കിടയിലും സംകാരകം ഉപയോഗിച്ച് മൂന്നാമതൊരു അംഗത്തെ സൂചിപ്പിക്കാന്‍ സാധിക്കുന്നു. ഗ്രൂപ്പ് എന്ന ആശയം രസതന്ത്രത്തിലും ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലും വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. തന്മാത്രകളുടെ സുഘടന വിവരിക്കാനും ആപേക്ഷികത വിവരിക്കാനും ഈ ആശയം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യാഗണവും ദ്വയാങ്ക സംക്രിയയായ സങ്കലനവും ചേര്‍ന്ന് നിര്‍മ്മിക്കുന്ന ലളിതമായ ബീജീയ ഘടന ഗ്രൂപ്പിന്‌ ഉദാഹരണമാണ്‌.

1830ല്‍ ഗാല്‍വ തുടങ്ങിവെച്ച ബഹുപദസമവാക്യങ്ങളുടെ പഠനമാണ് ഗ്രൂപ്പ് എന്ന ആശയത്തിന് തുടക്കമിട്ടത്. തുടര്‍ന്ന് ജ്യാമിതിയിലും സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിലും ഇത് പ്രയോഗിച്ചുതുടങ്ങി.

[തിരുത്തുക] നിര്‍വചനം

ഗ്രൂപ്പ് എന്നതിന്റെ നിര്‍വചനം ദ്വയാങ്ക സംക്രിയ, ബീജീയ ഘടന എന്നിവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ്.

അശൂന്യമായ ഒരു ഗണത്തില്‍ നിര്‍വ്വചിക്കുന്ന ദ്വയാങ്ക സംക്രിയ ഓരോ ക്രമിത ജോടിയേയും ഗണത്തിലെ മറ്റൊരു അംഗവുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ഫലനമാണ്‌. S എന്ന ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളാണ്‌ a, b എന്നും ഗണത്തില്‍ നിര്‍വചിക്കപ്പെട്ടിട്ടുള്ള ദ്വയാങ്കസംക്രിയ വഴി (a,b) എന്ന ക്രമിതജോടി c യുമായി ബന്ധിപ്പിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്നും കരുതുക. ദ്വയാങ്കസംക്രിയയെ * എന്ന് സൂചിപ്പിച്ചാല്‍ ഇതിനെ a*b=c എന്നെഴുതാം. ഗണത്തിലെ ഏത് രണ്ട് അംഗങ്ങളുടെ ക്രമിതജോടിയെയും ദ്വയാങ്കസംക്രിയ അതേ ഗണത്തിലെ അംഗവുമായിട്ടായിരിക്കണം ബന്ധിപ്പിക്കുന്നത്. ഇതാണ് സമാപ്തി സ്വഭാവം (Closure Property).

ഉദാഹരണമായി, പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യാഗണത്തില്‍ സങ്കലനം, ഗുണനം, വ്യവകലനം എന്നിവ ദ്വയാങ്ക സംക്രിയകളാണ്‌. എന്നാല്‍ ഹരണം ദ്വയാങ്ക സംക്രിയയല്ല.

ഒരു അശൂന്യഗണത്തില്‍ ഒന്നോ അതിലധികമോ ദ്വയാങ്ക സംക്രിയകളുണ്ടെങ്കില്‍ അതിനെ ബീജീയ ഘടന എന്ന് പറയുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന് പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യാഗണത്തില്‍ () സങ്കലനവും ഗുണനവും ദ്വയാങ്ക സംക്രിയകളാണ്. അത് ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കാം : (,+,).

G ഒരു അശൂന്യഗണവും * അതില്‍ നിര്‍വചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന ദ്വയാങ്ക സംക്രിയയും ആയ ബീജീയഘടന (G,*) ഒരു ഗ്രൂപ്പ് ആവണമെങ്കില്‍ താഴെ പറയുന്ന നിബന്ധനകള്‍ പാലിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

• സാഹചര്യനിയമം : G യിലുള്ള എല്ലാ a,b,c യ്ക്കും (a*b)*c=a*(b*c) ആയിരിക്കണം
• തല്‍സമകത്തിന്റെ നിലനില്‍പ് : G യിലുള്ള എല്ലാ a യ്ക്കും a*e=a=e*a ആകുന്ന തരത്തിലുള്ള e എന്ന അംഗം നിര്‍ബന്ധമായും G യില്‍ ഉണ്ടായിരിക്കണം
• വിപരീതത്തിന്റെ നിലനില്പ് : G ലുള്ള ഓരോ aയ്ക്കും, a*a^-1=a^-1*a=e ആകുന്ന തരത്തിലുള്ള a^-1 എന്ന അംഗം നിര്‍ബന്ധമായും G യില്‍ ഉണ്ടായിരിക്കണം

[തിരുത്തുക] ഉദാഹരണങ്ങള്‍

[തിരുത്തുക] പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യാഗണം

എന്ന പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യാഗണവും + എന്ന സംക്രിയയും പരിഗണിക്കുക.

1. രണ്ട് പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യകള്‍ തമ്മില്‍ കൂട്ടിയാല്‍ വീണ്ടും ഒരു പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യ തന്നെ ലഭിക്കുന്നു. അതായത് ഏതു രണ്ട് പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യകള്‍ a,bയ്ക്കും a + b ഒരു പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യയായിരിക്കും. അതിനാല്‍, സമാപ്തി സ്വഭാവം പാലിക്കുന്ന + ഒരു ദ്വയാങ്ക സംക്രിയയാണ്‌.
2. ഏത് മൂന്ന് പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യകള്‍ a,b,cയ്ക്കും (a+b)+c=a+(b+c) ആയിരിക്കും. അതായത്, ആദ്യ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ തുക മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യയോട് കൂട്ടിയാലും രണ്ടാമത്തേയും മൂന്നാമത്തേയും സംഖ്യകളുടെ തുക ആദ്യത്തെ സംഖ്യയോട് കൂട്ടിയാലും കിട്ടുന്ന ഉത്തരം തുല്യമായിരിക്കും. ഇപ്രകാരം + സാഹചര്യനിയമം പാലിക്കുന്നു.
3. 0 ഒരു പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യയാണ്. a ഒരു പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യയായാല്‍ ഏത് aയ്ക്കും a+0=0+a=a ആയിരിക്കും. അതായത് 0 തല്‍സമകമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന് 2+0=0+2=2
4. ഏത് പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യ aയ്ക്കും -a ഉണ്ട്, എങ്ങനെയെന്നാല്‍ a+(-a)=0=(-a)+a. ഇവിടെ (-a) സങ്കലനവിപരീതമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന് 2+(-2)=0=(-2)+2. ഇവിടെ 2ന്റെ സങ്കലന വിപരീതമാണ് -2.

ഇതില്‍ നിന്ന് (,+) ഒരു ഗ്രൂപ്പാണെന്നു വരുന്നു.

[തിരുത്തുക] ഒരു സുഘടനാഗ്രൂപ്പ്

ഒരു സമചതുരത്തില്‍ പരിക്രമണമോ പ്രതിഫലനമോ ചെയ്താല്‍ സമചതുരത്തിന്റെ സുഘടനകള്‍ ലഭിയ്ക്കും.ഇത് 3 വിധത്തിലാകാം :

id (തല്‍സമകം)	r1 (90° വലത്തോട്ട് കറക്കം)	r2 (180° വലത്തോട്ട് കറക്കം)	r3 (270° വലത്തോട്ട് കറക്കം)
fv (ലംബചലനം)	fh (തിരശ്ചീനചലനം)	fd (വികര്‍ണ്ണചലനം)	fc (വിപരീതവികര്‍ണ്ണചലനം)
സമചതുരത്തിന്റെ സമമിതി ഗ്രൂപ്പിലെ (D4) അംഗങ്ങള്‍. തിരിച്ചറിയാന്‍ വേണ്ടി മാത്രമാണ്‌ ശീര്‍ഷങ്ങള്‍ക്ക് നിറങ്ങളും സംഖ്യകളും നല്‍കിയിട്ടുള്ളത്

1. തല്‍സമക സംക്രിയ : അതായത് സമചതുരത്തില്‍ യാതൊരു സംക്രിയയും പ്രയോഗിയ്ക്കാതെ തന്നതുപോലെ വ്യത്യാസമില്ലാതെ നിലനിര്‍ത്തുക.ഇതിനെ id എന്ന് സൂചിപ്പിയ്ക്കാം.
2. പരിക്രമണം : 90°,180° ,270° പരിക്രമണങ്ങള്‍ നടത്തുക.ഇതിനെ യഥാക്രമം r1,r2,r3എന്ന് സൂചിപ്പിയ്ക്കുന്നു.
3. പ്രതിഫലനം : വികര്‍ണ്ണങ്ങളിലൂടേയോ തിരശ്ചീനമോ ലംബമോ ആയ രേഖകളിലൂടേയോ ഉള്ള പ്രതിഫലനം.യഥാക്രമം fd , fc എന്നും fh, fv എന്നും സൂചിപ്പിക്കാം.

രണ്ട് സുഘടനകള്‍ ഒന്നിനുപുറകെ ഒന്നായി പ്രയോഗിക്കുന്നതിനെ ഈ ഗണത്തിനുമേല്‍ സംക്രിയയായി നിര്‍വചിക്കാം. ഫലനമിശ്രണത്തെ (Composition of Functions) അടിസ്ഥാനമാക്കി ആദ്യം a എന്ന സുഘടനയും ശേഷം b എന്ന സുഘടനയും പ്രയോഗിക്കുന്നതിനെ b • a എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം.

ഈ സുഘടനക്കുള്ള ഗ്രൂപ്പ് പട്ടിക ഇവിടെ കൊടുക്കുന്നു.

D4 ഗ്രൂപ്പ് സ്വയം‌പ്രമാണസിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ അനുസരിക്കുന്നു.

1. സമാപ്തി സ്വഭാവം അനുസരിക്കുന്നു. അതായത് രണ്ട് സുഘടനകള്‍ ഒന്നിനുപുറകെ ഒന്നായി പ്രയോഗിച്ചാല്‍ ലഭിക്കുന്നത് ഒരു സുഘടന തന്നെയായിരിക്കും. ഉദാഹരണമായി r3 • fh = fc (തിരശ്ചീനചലത്തിനുശേഷം 270⁰ കറക്കം പ്രയോഗിച്ചാല്‍ വിപരീതവികര്‍ണ്ണചലനമാണ് അനുഭവം.വിപരീതവികര്‍ണ്ണചലനവും ഒരു സുഘടനയാണ്)
2. സാഹചര്യനിയമം അനുസരിക്കുന്നു.അതായത് a, b, c എന്നിവ സുഘടനകളാണെങ്കില്‍ (a • b) • c = a • (b • c) എന്ന് ഗ്രൂപ്പ് പട്ടികയില്‍ നിന്ന് മനസ്സിലാക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന് (fd • fv) • r2 , fd • (fv • r2) ഇവ പരിഗണിക്കുക. (fd • fv) • r2 = r3 • r2 = r1, fd • (fv • r2) = fd • fh = r1.
   രണ്ട് വഴികളിലൂടെയും ലഭിക്കുന്ന ഉത്തരങ്ങള്‍ തുല്യമായതിനാല്‍ • സാഹചര്യനിയമം അനുസരിക്കുന്നു.
3. തല്‍സമക അംഗം id ആണ്.എന്തെന്നാല്‍ ഏതൊരു സുഘടന aക്കും id • a = a, a • id = a. ആണ്.
4. ഏതൊരു സുഘടനയുടേയും വിപരീത അംഗം a •b=id=b • a അനുസരിക്കുന്നു.

ഗ്രൂപ്പ് പട്ടികയില്‍ നിന്നും id^-1=id, r1^-1=r3, r2^-1=r2, r3^-1=r1, fv^-1=fv, fh^-1=fh, fd^-1=fd, fc^-1=fc എന്ന് കിട്ടുന്നു.

[തിരുത്തുക] അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങള്‍

[തിരുത്തുക] ഉപഗ്രൂപ്പ്

(G,* ) ഒരു ഗ്രൂപ്പും H എന്നത് Gയുടെ ഒരു അശൂന്യ ഉപഗണവുമാണ് എന്നും കരുതുക. Gയുടെ ഉപഗ്രൂപ്പ് (Subgroup) ആവണം H എങ്കില്‍ (H,*) സ്വയം ഒരു ഗ്രൂപ്പ് ആയിരിക്കണം. (G,* ) ഒരു ഗ്രൂപ്പും e തല്‍സമകവുമാണെങ്കില്‍ {e} യും G എന്ന ഗ്രൂപ്പും Gയുടെ ഉപഗ്രൂപ്പുകള്‍ ആയിരിക്കും. ഇവയെ അനുചിത ഉപഗ്രൂപ്പുകള്‍ എന്ന് പറയുന്നു. ഇവയൊഴിച്ചുള്ള ഉപഗ്രൂപ്പുകളെ ഉചിത ഉപഗ്രൂപ്പുകള്‍ (Proper subgroups) എന്നും പറയുന്നു.

[തിരുത്തുക] ക്രമഗ്രൂപ്പ്

ക്രമനിയമം (Commutativity) പാലിക്കുന്ന ഗ്രൂപ്പുകളെ ക്രമഗ്രൂപ്പ് (Commutative/Abelian group) എന്ന് പറയുന്നു. അതായത് Gയിലെ എല്ലാ a,b ക്കും a*b=b*a ആണെങ്കില്‍ (G,*) ഒരു ക്രമഗ്രൂപ്പ് ആണ്.

ഉദാഹരണമായി സങ്കലനം സംക്രിയയായ പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യാഗണം (,+) ഒരു ക്രമഗ്രൂപ്പ് ആണ്.

[തിരുത്തുക] പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പ്

ഒരു ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളെ എണ്ണാന്‍ സാധിക്കുമെങ്കില്‍ അതിനെ പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പ് (Finite group) എന്ന് പറയുന്നു. ഉദാഹരണമായി, മേല്‍പറഞ്ഞ D₄ സുഘടനാഗ്രൂപ്പ് ഒരു പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പാണ്‌

[തിരുത്തുക] അനന്തഗ്രൂപ്പ്

അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം അനന്തമായുള്ള ഗ്രൂപ്പിനെ അനന്തഗ്രൂപ്പ് (Infinite group) എന്ന് പറയുന്നു. ഉദാഹരണം (,+)

[തിരുത്തുക] ചാക്രികഗ്രൂപ്പ്

1ന്റെ ആറ് സമ്മിശ്രമൂലങ്ങള്‍ ഒരു ചാക്രികഗ്രൂപ്പ് ഉണ്ടാക്കുന്നു. z ഒരു അടിസ്ഥാന അംഗമാണ്.എന്നാല്‍ z² അല്ല, എന്തെന്നാല്‍ z ന്റെഒറ്റസംഖ്യാകൃതികള്‍ z²ന്റെ കൃതികളല്ല.

(G,•) എന്ന ഗ്രൂപ്പ് പരിഗണിക്കുക. a ഇതിലെ അംഗവും e തല്‍സമകവുമാണെങ്കില്‍ a¹=a, a²=a•a, a³=a•a•a,..., a⁰=e, a^-2=a^-1•a^-1, ...എന്നിങ്ങനെ നിര്‍വ്വചിക്കുക. (G,•) ഒരു ചാക്രിക ഗ്രൂപ്പ് (Cyclic group) ആവണമെങ്കില്‍ ഈ നിബന്ധന പാലിക്കുന്ന b എന്ന അംഗം Gയില്‍ ഉണ്ടായിരിക്കണം :

• Gയിലെ ഓരോ അംഗവും bⁿ എന്ന രൂപത്തിലുള്ളതായിരിക്കണം ഇവിടെ n-ന്‌ പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യകളേ വിലകളായി സ്വീകരിക്കാനാവുകയുള്ളൂ.

ഇവിടെ b യെ, G യുടെ ജനകം(Generator) അഥവാ അടിസ്ഥാന അംഗം (Primitive element) എന്ന് പറയുന്നു. G എന്ന ചാക്രികഗ്രൂപ്പിനെ G=(b) എന്നോ G=<b> എന്നോ സൂചിപ്പിക്കാം. ഒരു ചാക്രികഗ്രൂപ്പിന്‌ ഒന്നിലധികം ജനകങ്ങളുണ്ടാകാം.

[തിരുത്തുക] അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പ്

(G,*)യുടെ ഉപഗ്രൂപ്പാണ് N എന്ന് കരുതുക. G-യിലെ അംഗമാണ്‌ g എന്നും N-ലെ അംഗമാണ്‌ n എന്നും വരുന്ന അവസ്ഥകളിലെല്ലാം gNg^-1 N-ലെ അംഗമാണ്‌ എന്നുണ്ടെങ്കില്‍ Gയുടെ അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പാണ്‌ (normal subgroup) N എന്നു പറയുന്നു.

[തിരുത്തുക] സഹഗണം

(G,•) എന്ന ഗ്രൂപ്പ് സങ്കല്‍പിക്കുക. G യിലെ ഒരംഗമാണ്‌ g എങ്കില്‍ gH = {g•h, h ∈ H}, Hg = {h•g, h ∈ H} എന്നിവയെ യഥാക്രമം G യുടെ ഇടത് സഹഗണം എന്നും വലത് സഹഗണം എന്നും വിളിക്കുന്നു. G ഒരു ക്രമഗ്രൂപ്പ് ആണെങ്കില്‍ ഇടത് സഹഗണവും വലത് സഹഗണവും തുല്യമായിരിക്കും.

ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ സഹഗണങ്ങളെല്ലാം ചേര്‍ന്ന് അതിന്റെ ഒരു വിഭജനം (partition) നിര്‍മ്മിക്കുന്നു. അതായത്, ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉപഗണങ്ങളുടെ യോഗം ആ ഗ്രൂപ്പ് തന്നെയായിരിക്കും. ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ രണ്ട് ഇടത് സഹഗണങ്ങള്‍ തുല്യമോ അവയുടെ സംഗമം ശൂന്യഗണമോ ആയിരിക്കും.

ഒരു സഹഗണവും ശൂന്യഗണമായിരിയ്ക്കുകയില്ല.എന്തെന്നാല്‍ Gഎന്ന ഗ്രൂപ്പിനേയുംH എന്ന ഉപഗ്രൂപ്പിനേയുംപരിഗണിയ്ക്കുക. g ∈ Gഎന്നും കരുതുക.Gയിലെ തല്‍സമക അംഗം e,H ലേയും തല്‍സമകമായിരിക്കും. അപ്പോള്‍‍ g=eg ∈ Hg ഉം g=ge ∈ gH ഉം ആയിരിയ്ക്കും.ആയതിനാല്‍ സഹഗണങ്ങള്‍ ശൂന്യമായിരിക്കുകയില്ല.

[തിരുത്തുക] കോടി

ഒരു പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പിലുള്ള അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ കോടി (Order) എന്ന് പറയുന്നു. (G,•) എന്ന പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടിയെ O(G) ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിയ്ക്കുന്നു. ഒരു അനന്തഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടി അനന്തമായിരിക്കും.കോടി അനന്തമായ ഒരു ഗ്രൂപ്പാണ് (,+).

ഗ്രൂപ്പ് സംകാരകം • ആയ ഒരു ഗ്രൂപ്പിലുള്ള അംഗമാണ് a, അങ്ങനെയെങ്കില്‍ aⁿ=e ആയ ഏറ്റവും ചെറിയ ധനപൂര്‍ണ്ണസംഖ്യ n നെ a യുടെ കോടി എന്ന് പറയുന്നു. a ജനകമായ ചാക്രിക ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടിക്ക് തുല്യമാണ്‌ a യുടെ കോടി. അനന്തഗ്രൂപ്പിലെ ചില അംഗങ്ങള്‍ക്ക് കോടി നിര്‍‌വ്വചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കണമെന്ന് നിര്‍ബന്ധമില്ല.

[തിരുത്തുക] ഘടക ഗ്രൂപ്പ്

N എന്ന ഒരു അഭിലംബ ഗ്രൂപ്പ് Gയുടെ ഘടക ഗ്രൂപ്പ് അഥവാ ഭാഗഫല ഗ്രൂപ്പ് ആവുന്നതിനുള്ള വ്യവസ്ഥ താഴെ പറയുന്നു. G / N = {gN, g ∈ G}.ഇവിടെ G / N ഘടക ഗ്രൂപ്പിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

[തിരുത്തുക] ഉല്പന്ന ഗ്രൂപ്പ്

Gഒരു ഗ്രൂപ്പും Hഉം Kയും G=HK യും H∩K={e}യും ആയ Gയുടെ 2 ഉപഗ്രൂപ്പുകളും ആയാല്‍ G=HXK യെ ഉല്പന്ന ഗ്രൂപ്പ് എന്ന് പറയുന്നു.

[തിരുത്തുക] ഹോമോമോര്‍ഫിസം

(G,*)എന്ന ഗ്രൂപ്പില്‍ നിന്നും (G',o)എന്ന ഗ്രൂപ്പിലേക്കുള്ള f എന്ന ചിത്രണം ഹോമോമോര്‍ഫിസം ആവണമെങ്കില്‍ Gലെ എല്ലാa,b f(a*b)=f(a)of(b) ആയിരിക്കണം.Gല്‍ നിന്നും G'ലേക്കുള്ള ഒരു ഹോമോമോര്‍ഫിസം fഎന്ന് കരുതുക.അങ്ങനെയെങ്കില്‍ f(e)=e',f(x^-1)=(f(x))^-1ആയിരിക്കും.അതായത് Gയിലെ തല്‍സമകമായ eയുടെ fപ്രതിബിംബംG'ലെ തല്‍സമകമായ e' ആയിരിക്കും.കൂടാതെ Gലെ ഒരംഗത്തിന്റെ വിപരീതത്തിന്റെ fപ്രതിബിംബം G'ലെ fപ്രതിബിംബത്തിന്റെ വിപരീതത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും.

[തിരുത്തുക] ഹോമോമോര്‍ഫിസത്തിന്റെ കേര്‍ണ്‌ല്‍

fഒരു ഹോമോമോര്‍ഫിസം ആണ്.K={x ∈G/f(x)=e',G'ലെ തല്‍സമകം} എന്ന ഗണത്തേയാണ്‌ ‍കേര്‍ണ്‌ല്‍ എന്ന് വിശേഷിപ്പിക്കുന്നത്.ഇപ്രകാരം Ker fഎന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.Ker fഎപ്പോഴും ഒരു അശൂന്യഗണമായിരിക്കും എന്തെന്നാല്‍ f(e)=e' ആയതിനാല്‍ e ∈Ker f

[തിരുത്തുക] ഐസോമോര്‍ഫിസം

G,G'എന്നീ രണ്ട് ഗ്രൂപുകള്‍ ഐസോമോര്‍ഫിക് ആണെന്ന് പറയണമെങ്കില്‍ Gല്‍ നിന്നും G'ലേക്കുള്ള f എന്ന ചിത്രണം

1. 1-1 ആയിരിക്കണം കൂടാതെ
2. Gലുള്ള എല്ലാ x,yക്കും f(xy)=f(x)f(y)

[തിരുത്തുക] ഗ്രൂപ്പിന്റെ പ്രത്യേകതകള്‍

(G,*)എന്ന ഒരു ഗ്രൂപ്പിലെ

1.തല്‍സമകം അദ്വിതീയമാണ്

തെളിവ്:

വിപരീതമായി e,fഎന്നീ രണ്ട് തല്‍സമകങ്ങളുണ്ടെന്ന് കരുതുക.e ഒരു തല്‍സമകവും f ഗ്രൂപ്പിലെ ഒരു അംഗവുമാണെങ്കില്‍

e*f=fഎന്നും f തല്‍സമകവും e ഗ്രൂപ്പിലെ ഒരു അംഗവുമാണെങ്കില്‍ f*e=e എന്നും കിട്ടുന്നു.

അതായത് e=fഎന്ന് കിട്ടുന്നു.

2.എല്ലാ aയ്ക്കും ഒരു അദ്വിതീയ‌വിപരീതഅംഗംa^-1 ഉണ്ടായിരിക്കും'

തെളിവ്:

ഏതൊരു അംഗം aയ്ക്കും x,yഎന്നീ രണ്ട് വിപരീതാംഗങ്ങളുണ്ടെന്ന് കരുതുക.eഎന്ന തല്‍സമകത്തേയും പരിഗണിക്കുക.

ആയതിനാല്‍ x*a=a*x=e എന്നും y*a=a*y=e എന്നും ലഭിക്കുന്നു.ഇതില്‍ നിന്നും x=x*e=x*(a*y)=(x*a)*y=e*y=yഎന്ന് ലഭിക്കും.

3.എല്ലാ a ക്കും a^-1-1=a

തെളിവ്:

വിപരീതാംഗത്തിന്റെ നിര്‍വ്വചനത്തില്‍ നിന്ന് തന്നെ a^-1-1=a എന്ന് കിട്ടുന്നു.

4.എല്ലാ a,bയ്ക്കും (a,b)^-1=b^-1a^-1

തെളിവ്:

ആദ്യം (a*b)(b^-1a^-1) പരിഗണിക്കുക.

(a*b)(b^-1a^-1) =(a*b)*X=a*(b*X)=a(b(b^-1a^-1))=a*(b*b^-1)a^-1=a(ea^-1)=a*a^-1=e

ഇപ്രകാരം (b^-1*a^-1)(a*b) ചെയ്താലും e ലഭിക്കുന്നു.

ആയതിനാല്‍ (a*b)(b^-1a^-1) =e= (b^-1*a^-1)(a*b)

[തിരുത്തുക] ഉദാഹരണങ്ങളും പ്രയോഗങ്ങളും

[തിരുത്തുക] സംഖ്യകള്‍

പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യകള്‍,ഭിന്നസംഖ്യകള്‍ തുടങ്ങിയ പല സംഖ്യാസമ്പ്രദായങ്ങളും പ്രകൃത്യാതന്നെ ഗ്രൂപ്പിന്റെ സ്വഭാവങ്ങള്‍ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.ഒന്നിലധികം സംകാരകങ്ങള്‍ ഇത്തരം ഗ്രൂപ്പില്‍ ഉപയോഗിക്കുമ്പോള്‍ വലയം,ക്ഷേത്രം എന്നിവയുണ്ടാകുന്നു.

[തിരുത്തുക] പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യകള്‍

(Z,+)ഒരു ഗ്രൂപ്പ് ആണ്.എന്നാല്‍ (Z,'.') ഗ്രൂപ്പ് അല്ല.എന്തെന്നാല്‍ ഗണത്തിലെ 1,-1 എന്നീ സംഖ്യകള്‍ക്കൊഴികെ വേറൊരു സംഖ്യക്കും വിപരീത അംഗം നിലനില്‍ക്കുന്നില്ല.ഉദാഹരണത്തിന് 2 എന്ന സംഖ്യയുടെ ഗുണനവിപരീതാംഗം 1/2 ആണ്.എന്നാല്‍ ഇതൊരു ഭിന്നസംഖ്യയാണ്.

[തിരുത്തുക] ഭിന്നസംഖ്യകള്‍

(Q,'.')എന്ന ഭിന്നസംഖ്യാഗണം ഒരു ഗ്രൂപ്പാവുന്നത് Q \ {0} = {q ∈ Q, q ≠ 0} ആവുമ്പോഴാണ്.എന്തെന്നാല്‍ 0ന്റെ ഗുണനവിപരീതഅംഗം 1/0 നിര്‍വ്വചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല.ആയതിനാല്‍ 0 ഒഴിച്ചാല്‍ Qഎന്ന ഗണം ക്രമ ഗ്രൂപ്പ് ആണ്.

[തിരുത്തുക] പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പ്

കോടി പരിബദ്ധമായ ഏതു ഗ്രൂപ്പിനേയും പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പ് എന്ന് പറയാം.സുഘടനാഗ്രൂപ്പ്,ക്രമചയ ഗ്രൂപ്പ് എന്നിവ പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളാണ്.ഉദാഹരണത്തിന് A,B,Cഎന്നീ 3 അക്ഷരങ്ങളുള്ള ഒരു സുഘടനാഗ്രൂപ്പാണ് G എന്ന് കരുതുക.Gയെ S3എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം.S3ല്‍ 3!=6അംഗങ്ങളുണ്ടായിരിക്കും,ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA എന്നിങ്ങനെ.എതൊരു പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പിനേയും ഒരു സുഘടനാഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പായി അവതരിപ്പിക്കാം എന്ന കെ‌യ്‌ലീ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനമായി S3യെ പരിഗണിക്കാം.ഒരു സമഭുജത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളെ ആധാരമാക്കിയും സുഘടനഗ്രൂപ്പ് വിവരിക്കാവുന്നതാണ്.ഒരു അംഗത്തിന്റെ കോടി എന്നാല്‍ ആ അംഗം ഉണ്ടാക്കുന്ന ചാംക്രികഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടി ആണ്.ലെഗ്രാന്‍ജെ സിദ്ധാന്തം ഉപഗ്രൂപ്പിനേയും കോടിയേയും ബന്ധപ്പെടുത്തിയാണ് പ്രസ്താവിച്ചിരിക്കുന്നത്.

[തിരുത്തുക] സുഘടനാഗ്രൂപ്പ്

സുഘടനകള്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന ഗ്രൂപ്പുകളാണ് സുഘടനാഗ്രൂപ്പ്.ഈ സുഘടനകള്‍ ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങള്‍,ബീജീയവാചകങ്ങള്‍ എന്നിവയാകാം.രസതന്ത്രത്തില്‍ തന്മാത്രാ സുഘടനയും ക്രിസ്റ്റല്‍ സുഘടനയും വിവരിക്കാന്‍ സമഷ്ടി ഗ്രൂപ്പ്,പോയന്റ് ഗ്രൂപ്പ് എന്നിവ ഉപയോഗിക്കാം.ക്വാണ്ടം ബലതന്ത്രം ഉപയോഗിച്ച് ഈ സവിശേഷതകളെല്ലാം വിവരിക്കാന്‍ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിന് സാധിക്കും.ഉദാഹരണത്തിന് നിശ്ചിത ക്വാണ്ടം നിലകള്‍ക്കിടയില്‍ പ്രകാശിതസംക്രമണം കാണിക്കാന്‍ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നു.കൂടാതെ ഒരു ഫേസ് സംക്രമണത്തിന് വിധേയമാവുന്ന വസ്തുവിന്റെ ഭൗതികഗുണങ്ങളിലുണ്ടാവുന്ന മാറ്റങ്ങള്‍ വിവരിക്കാനും ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കാം.

[തിരുത്തുക] അവലംബം

Modern Algebra ലേഖകന്‍ Chatterji

• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1 , Chapter 2 contains an undergraduate-level exposition of the notions covered in this article.
• Devlin, Keith (2000), The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible, Owl Books, ISBN 978-0-8050-7254-9 , Chapter 5 provides a layman-accessible explanation of groups.
• Fulton, William & Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6, ISBN 978-0-387-97495-8 .
• Hall, G. G. (1967), Applied group theory, American Elsevier Publishing Co., Inc., New York, MR0219593 , an elementary introduction.
• Herstein, Israel Nathan (1996), Abstract algebra (3rd ed.), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc., MR1375019, ISBN 978-0-13-374562-7 .
• Herstein, Israel Nathan (1975), Topics in algebra (2nd ed.), Lexington, Mass.: Xerox College Publishing, MR0356988 .
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211, Berlin, New York, MR1878556, ISBN 978-0-387-95385-4 .
• Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-22025-3 .
• Ledermann, Walter (1953), Introduction to the theory of finite groups, Oliver and Boyd, Edinburgh and London, MR0054593 .
• Ledermann, Walter (1973), Introduction to group theory, New York: Barnes and Noble, OCLC 795613 .
• Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6 .

ബീജഗണിതവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഈ ലേഖനം അപൂര്‍ണ്ണമാണ്‌. ഇതു വികസിപ്പിക്കുവാന്‍ സഹായിക്കുക. സഹായത്തിനു ഈ ലേഖനത്തിന്റെ ഇംഗ്ലീഷ് പതിപ്പ്.