കോടി (ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം)

വിക്കിപീഡിയ, ഒരു സ്വതന്ത്ര വിജ്ഞാനകോശം.

ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിൽ കോടി (order) എന്ന പദം കൊണ്ട് വളരെ അടുത്തുനിൽക്കുന്ന രണ്ട് കാര്യങ്ങളെ അർത്ഥമാക്കുന്നു :

  • ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടി എന്നത് ആ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്. പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളുടെ കോടികൾ എണ്ണൽസംഖ്യകളും അനന്തഗ്രൂപ്പുകളുടേത് അനന്തവുമാണ്.
  • ഗ്രൂപ്പിലെ ഒരു അംഗത്തിന്റെ (അംഗം a എന്നു കരുതാം) കോടി എന്നത് am=e എന്നു വരുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ എണ്ണൽസംഖ്യയായ m ആണ്. ഇവിടെ e എന്നത് ഗ്രൂപ്പിന്റെ തൽസമകമാണ്. അത്തരം ഒരു സംഖ്യയില്ലെങ്കിൽ a യുടെ കോടി അനന്തമാണെന്നു പറയുന്നു.

G എന്ന ഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടിയെ ord(G) അഥവാ |G| എന്നും a എന്ന അംഗത്തിന്റെ കോടിയെ ord(a) അഥവാ |a| എന്നും സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം[തിരുത്തുക]

സമമിതീയഗ്രൂപ്പായ S3 ഉദാഹരണമായെടുക്കുക. ഈ ഗ്രൂപ്പിന്റെ കെയ്ലി പട്ടിക താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു.

e s t u v w
e e s t u v w
s s e v w t u
t t u e s w v
u u t w v e s
v v w s e u t
w w v u t s e

ഗ്രൂപ്പിൽ ആറ് അംഗങ്ങളുള്ളതിനാൽ ഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടി ആറാണ്. ഗ്രൂപ്പ് അംഗങ്ങളുടെ കോടികൾ ഇപ്രകാരമാണ്:

  • e (തൽസമകം) : 1
  • s, t, w : 2
  • u, v : 3

സവിശേഷതകൾ[തിരുത്തുക]

  • തൽസമകത്തിന്റെ കോടി എല്ലായ്പ്പോഴും 1 തന്നെ ആയിരിക്കും
  • ഒരു പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പിലെ ഓരോ അംഗത്തിന്റെയും കോടി പരിബദ്ധവും ഗ്രൂപ്പ് കോടിയുടെ ഘടകവും ആയിരിക്കും
  • ഒരു ഗ്രൂപ്പിൽ തൽസമകമൊഴികെയുള്ള എല്ലാ അംഗങ്ങളുടെയും കോടി 2 ആണെങ്കിൽ അതൊരു ക്രമഗ്രൂപ്പായിരിക്കും
  • p എന്നത് ഒരു പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടിയുടെ ഘടകമായ ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ ആണെങ്കിൽ p കോടി ആയുള്ള ഒരംഗമെങ്കിലും ഗ്രൂപ്പിൽ ഉണ്ടായിരിക്കും
  • ord(ak) = ord(a) / gcd(ord(a), k)
  • a, b എന്നിവ ഒരു ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളാണെങ്കിൽ ord(ab)=ord(ba)

അവലംബം[തിരുത്തുക]