സദിശസമഷ്ടി

വിക്കിപീഡിയ, ഒരു സ്വതന്ത്ര വിജ്ഞാനകോശം.

ഈ ലേഖനം ഏതെങ്കിലും സ്രോതസ്സുകളില്‍ നിന്നുള്ള വേണ്ടത്ര തെളിവുകളെ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്നില്ല. ദയവായി യോഗ്യങ്ങളായ സ്രോതസ്സുകളില്‍ നിന്നുമുള്ള അവലംബങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്ത് ലേഖനം മെച്ചപ്പെടുത്തുക. നിലവാരമില്ലാത്ത വസ്തുതകള്‍ ചോദ്യം ചെയ്യപ്പെടുകയും നീക്കപ്പെടുകയും ചെയ്തേക്കാം.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ രേഖീയ ബീജഗണിതം(Linear algebra) ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന ഒരാശയമാണ് സദിശസമഷ്ടി അഥവാ വെക്റ്റര്‍ സ്പേയ്സ്. ഇതിലെ അംഗങ്ങളാണ് സദിശങ്ങള്‍ (Vectors).ഏറ്റവും ലളിതമായ വെക്റ്റര്‍ സ്പേയ്സുകളാണ് ദ്വിമാനവും (2Dimesion) ത്രിമാനവും(3Dimension). വെക്റ്റര്‍ സ്പേയ്സ് എന്നാല്‍ പ്രധാനസംകാരകങ്ങള്‍ സദിശസങ്കലനവും അദിശഗുണനവും ആയ ഒരു ഗണമാണ്.

[തിരുത്തുക] നിര്‍വ്വചനം

F എന്ന രേഖീയസംഖ്യകളുടേയോ സമ്മിശ്രസംഖ്യകളുടേയോ ഒരു ക്ഷേത്രത്തെ(Field) പരിഗണിക്കുക. ഇതിലെ അംഗങ്ങള്‍ അദിശങ്ങളാണ്. F എന്ന ക്ഷേത്രത്തില്‍ നിര്‍വ്വചിക്കുന്ന വെക്റ്റര്‍ സ്പേയ്സ് എന്നാല്‍ സദിശസങ്കലനം, അദിശഗുണനം എന്നീ രണ്ട് സംകാരകങ്ങളടങ്ങിയ ഒരു ഗണമാണ്.

കൂടാതെ താഴേപറയുന്ന സ്വയംസിദ്ധപ്രമാണങ്ങളും അനുസരിക്കുന്നു

• സദിശസങ്കലനം സാഹചര്യനിയമം പാലിക്കുന്നു

എല്ലാ u, v, w ∈ V, u + (v + w) = (u + v) + w.

• സദിശസങ്കലനം ക്രമനിയമം പാലിക്കുന്നു

എല്ലാ v, w ∈ V, v + w = w + v.

• സദിശസങ്കലനത്തില്‍ തല്‍സമകം 0 ആണ്.

എല്ലാ v ∈ Vയ്ക്കും 0 ∈ V,എങ്ങനെയെന്നാല്‍v + 0 = v

• സദിസസങ്കലനത്തിന് വിപരീത‌അംഗങ്ങള്‍ ഉണ്ട്

എല്ലാ v ∈ Vയ്ക്കും സങ്കലനവിപരീതം wഉണ്ട്.എങ്ങനെയെന്നാല്‍ v + w = 0.

• സദിശസങ്കലനത്തില്‍ അദിശഗുണനം വിതരണനിയമം പാലിക്കുന്നു

എല്ലാ a ∈ F യ്ക്കും v, w ∈ Vയ്ക്കും a (v + w) = a v + a w.

• ക്ഷേത്രസങ്കലനത്തില്‍ അദിശഗുണനം വിതരണനിയമം പാലിക്കുന്നു

എല്ലാ a, b ∈ F യ്ക്കും v ∈ V,യ്ക്കും (a + b) v = a v + b v.

• അദിശക്ഷേത്രത്തില്‍ അദിശഗുണനം സാദ്ധ്യമാണ്.

എല്ലാ a, b ∈ F യ്ക്കും v ∈ V, a (b v) = (ab) v.

• അദിശഗുണനത്തില്‍ 1 തല്‍സമകസംഖ്യയാണ്.