ഗണം
വിക്കിപീഡിയ, ഒരു സ്വതന്ത്ര വിജ്ഞാനകോശം.
| ഗണം എന്ന വാക്കാല് വിവക്ഷിക്കാവുന്ന ഒന്നിലധികം കാര്യങ്ങളുണ്ട്. അവയെക്കുറിച്ചറിയാൻ ഗണം (നാനാര്ത്ഥങ്ങള്) എന്ന താള് കാണുക. |  |
ഗണം എന്നത് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ അടിസ്ഥാനആശയങ്ങളില് ഒന്നാണ്. ഗണസിദ്ധാന്തം വളരേയേറെ പുരോഗതി പ്രാപിച്ചതും ഗവേഷണത്തിന് വിധേയമായിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നതുമായ ഒരു വിഷയമാണ്. ഗണസിദ്ധാന്തം ആവിഷ്ക്കരിച്ചത് ജോര്ജ്ജ് കാന്റര് ആണ്.
ഉള്ളടക്കം |
[തിരുത്തുക] നിര്വ്വചനം
ജോര്ജ്ജ് കാന്റര് ആണ് ഗണത്തെ നിര്വ്വചിച്ചത്. അദ്ദേഹത്തിന്റെ അഭിപ്രായത്തില് "വ്യക്തമായി നിര്വ്വചിക്കാന് കഴിയുന്ന അംഗങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തെ ഗണം" എന്ന് പറയുന്നു. ഇതിലെ അംഗങ്ങള് രാശികളോ വസ്തുക്കളോ ആശയങ്ങളോ ആവാം.
[തിരുത്തുക] സൂചിപ്പിക്കുന്ന രീതി
ഗണത്തെ ഇംഗ്ലീഷ് അക്ഷരമാലയിലെ വലിയ അക്ഷരങ്ങള് ഉപയോഗിച്ചാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളെ {} ബ്രാക്കറ്റിനുള്ളില് നിര്വ്വചിക്കുന്നു. അംഗങ്ങളുടെ വിന്യാസം പ്രധാനമായും 3 രീതിയിലാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.
[തിരുത്തുക] ചില ഉദാഹരണങ്ങള്
എണ്ണല്സംഖ്യാഗണം {1,2,3.............}
അഥവാ 
ധനപൂര്ണ്ണസംഖ്യ അഥവാ അഖണ്ഡസംഖ്യാഗണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു {0,1,2,3.........}
പൂര്ണ്ണസഖ്യാഗണം {.....-3,-2,-1,0,1,2,3................}
ഭിന്നകസംഖ്യാഗണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
രേഖീയസംഖ്യാഗണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
സമ്മിശ്രസംഖ്യാഗണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുനാണ് ഈ അക്ഷരം ഉപയോഗിക്കുന്നത്.
[തിരുത്തുക] അംഗത്വം
തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു രാശി ഗണത്തിലെ അംഗമാണോ അല്ലയോ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാന് ∈ അഥവാ ∉ എന്ന ചിഹ്നമാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.
ഉദാ: എന്ന എണ്ണല്സംഖ്യാഗണം പരിഗണിക്കുക.
ആയതിനാല് ={1,2,3,4,..........} ഇവിടെ 100∈ ഉം 0 ∉ ഉം ആണ്.
[തിരുത്തുക] ഗണനസംഖ്യ
ഒരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ ആ ഗണത്തിന്റെ ഗണനസംഖ്യ(Cardinality)എന്ന് പറയുന്നു.ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് | | എന്ന ചിഹ്നമുപയോഗിച്ചാണ്.
മുകളില് സൂചിപ്പിച്ച ഉദാഹരണത്തില് എന്ന ഗണത്തിന്റെ ഗണനസംഖ്യ അനന്തമാണ്.A ={1,2,3,4}എന്ന ഗണം പരിഗണിച്ചാല് |A|=4 ആണെന്ന് കാണാം.
[തിരുത്തുക] ഉപഗണം
ഒരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങള് പൂര്ണ്ണമായോ ഭാഗികമായോ അംഗങ്ങളായുള്ള ഗണത്തേയാണ് ഉപഗണം(Subset) എന്ന് പറയുന്നത്.ഇതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് 
ഇപ്രകാരമാണ്.
എന്ന ഗണം പരിഗണിച്ചാല് A={2,4,6,8..........} എന്ന ഗണം ന്റെ ഉപഗണമാണെന്ന് പറയാം.
അതായത് A ഉം തിരിച്ച് എന്ന ഗണം Aയുടെ അധിഗണം(Superset) ആണെന്നും പറയാം.
A
[തിരുത്തുക] ഗണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചിഹ്നങ്ങള്
[തിരുത്തുക] യോഗം
രണ്ടോ അതിലധികമോ ഗണങ്ങളിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും ചേര്ന്ന ഗണം ലഭിക്കുന്നു.ഗണങ്ങളിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളേയും യോജിപ്പിച്ച് ഒരു ഗണത്തില് വിന്യസിക്കുന്നു.
രണ്ട് ഗണങ്ങള് A യുടേയും B യുടേയും യോഗം A ∪ B എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.ഇതിലെ അംഗങ്ങള് ഒന്നുകില് Aയിലേയോ അല്ലെങ്കില് Bയിലേയോ അംഗങ്ങളാവാം.
നിബന്ധനാരീതിയില് ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കാം A ∪ B ={x/x∈ A അഥവാ x∈B} ഉദാഹരണങ്ങള്:
- {1,3} ∪ {ചുവപ്പ്,വെള്ള}={1,3,ചുവപ്പ്,വെള്ള}
- {1,3,പച്ച} ∪ {ചുവപ്പ്,വെള്ള,പച്ച} ={1,3,ചുവപ്പ്,വെള്ള,പച്ച}
- A={1,3,5,.......},B={2,4,6,8..........} എങ്കില് A ∪ B={1,2,3,4,5....................} ആയിരിയ്ക്കും.
[തിരുത്തുക] ചില സവിശേഷതകള്
- ക്രമനിയമം(Commutative law) പാലിക്കുന്നു.അതായത് A ∪ B = B ∪ A
- സാഹചര്യനിയമം(Associative law) പാലിക്കുന്നു. അതായത് A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
- A ⊆ (A ∪ B)
- വര്ഗ്ഗസമനിയമം(Idempotent law) പാലിക്കുന്നു.അതായത് A ∪ A = A
- A ∪ ø = A,ശൂന്യഗണമാണ് തല്സമകം(Identity element)
[തിരുത്തുക] സംഗമം
രണ്ടോ അതിലധികമോ ഗണങ്ങളിലെ പൊതുവായുള്ള അംഗങ്ങളുടെ ഗണം സംഗമം എന്ന സംകാരകം വഴി ലഭിക്കുന്നു.രണ്ട് ഗണങ്ങല് A യുടെയും B യുടേയും സംഗമം A ∩ B ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കുന്നു.ഗണങ്ങളില് പൊതുവായ ഒരു അംഗവും ഇല്ലെങ്കില് അവയെ വിയുക്തഗണം എന്ന് പറയുന്നു.
നിബന്ധനാരീതിയില് ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കാം.A∩B ={x/x∈ A ഉം x∈B} ഉദാഹരണങ്ങള്:
- {1,2} ∩ {ചുവപ്പ്,വെള്ള}=ø
- {1,2,പച്ച} ∩ {ചുവപ്പ്,വെള്ള,പച്ച}={പച്ച}
[തിരുത്തുക] ചില സവിശേഷതകള്
- ക്രമനിയമം അനുസരിക്കുന്നു.A ∩ B = B ∩ A
സാഹചര്യനിയമം അനുസരിക്കുന്നു. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
- A ∩ B ⊆ A
- വര്ഗ്ഗസമനിയമം അനുസരിക്കുന്നു, A ∩ A = A
- ശൂന്യഗണമാണ് തല്സമകം,A ∩ ø = ø
[തിരുത്തുക] പൂരകഗണം
സമസ്തഗണത്തിലുള്ളതും(Universal Set) തന്നിരിക്കുന്ന ഗണത്തിലില്ലാത്തതുമായ അംഗങ്ങളുടെ ഗണത്തെ പൂരകഗണം എന്ന് പറയുന്നു.Aയുടെ പൂരകഗണത്തെ A' എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം.
നിബന്ധനാരീതിയില് ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കാം. A'={x/x∉A }
[തിരുത്തുക] കാര്ട്ടീഷ്യന് ഗുണനഫലം
[തിരുത്തുക] ക്രമിതജോടി
ഒരു ക്രമിതജോടി എന്നാല് നിശ്ചിതക്രമം പാലിയ്ക്കുന്ന സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുക എന്നതാണ്. (a,b) എന്നത് ആദ്യത്തേതും രണ്ടാമത്തേതുമായ സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. a ആദ്യത്തേയും b രണ്ടാമത്തേയും സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. (a,b)=(a',b') എന്നത് a=a' നേയും b=b'നേയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
ജോടിയും ഗണവും തമ്മിലുള്ള പ്രധാനവ്യത്യാസവും ഇതുതന്നെയാണ്. അതായത് ജോടി ഒരു നിശ്ചിതക്രമം സംഖ്യകളെ വിന്യസിക്കാന് ഉപയോഗിക്കുന്നു. എന്നാല് ഗണത്തില് ഇത്തരത്തിലൊരു ക്രമം ആവശ്യമില്ല. കൂടാതെ ഗണത്തില് {a,a} എന്നത് അര്ത്ഥശൂന്യമാണ്. എന്നാല് (a,a) ഒരു അര്ത്ഥവത്തായ ജോടിയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
ഒരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളെ മറ്റൊരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളുമായി യോജിപ്പിച്ച് പുതിയൊരു ഗണം ഉണ്ടാക്കാന് കാര്ട്ടീഷ്യന് ഗുണനഫലം ഉപയോഗിക്കുന്നു. രണ്ട് ഗണങ്ങള് Aയുടേയും Bയുടേയും ക്രമിതജോടികളായാണ് രേഖപ്പെടുത്തുന്നത്. A X B ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കുന്നു. നിബന്ധനാരീതിയില് ഇപ്രകാരം നിര്വ്വചിക്കാം.
A X B= {(x,y)/x∈ A,y∈ B}
Aഎന്ന ഗണത്തില് m അംഗങ്ങളും Bഎന്ന ഗണത്തില് n അംഗങ്ങളും ഉണ്ടെങ്കില് AXB എന്ന ഗണത്തില് mXn അംഗങ്ങളുണ്ടായിരിയ്ക്കും.
ഉദാഹരണങ്ങള്:
- {1,2} X{ചുവപ്പ്,വെള്ള}={(1,ചുവപ്പ്),(1,വെള്ള),(2,ചുവപ്പ്),(2,വെള്ള)}
- {1, 2} X {1, 2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}
[തിരുത്തുക] ചില സവിശേഷതകള്
- A X ∅ = ∅ X A = ∅
- A X (B ∪ C) = (A X B) ∪ (A X C)
- (A ∪ B) X C = (A X C) ∪ (B X C)
[തിരുത്തുക] അവലംബം
Linear Algebra by Klaus Janich,Springer Publication,ISBN:81-8128-187-X
http://en.wikipedia.org/wiki/Set#Cartesian_product
ഹൈസ്കൂള് ശാസ്ത്രനിഘണ്ടു,കേരള ശാസ്ത്രസാഹിത്യപരിഷദ്
 |
ഗണിതവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഈ ലേഖനം അപൂര്ണ്ണമാണ്. ഇതു വികസിപ്പിക്കുവാന് സഹായിക്കുക. സഹായത്തിനു ഈ ലേഖനത്തിന്റെ ഇംഗ്ലീഷ് പതിപ്പ്. |
