ലളിതഗ്രൂപ്പ്
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, തുച്ഛമല്ലാത്ത ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ തുച്ഛഗ്രൂപ്പും ആ ഗ്രൂപ്പു തന്നെയും മാത്രമാണെങ്കിൽ അതിനെ ലളിതഗ്രൂപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ലളിതമല്ലാത്ത ഏതൊരു ഗ്രൂപ്പിനെയും ഒരു അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പും അതിന്റെ ഘടകഗ്രൂപ്പുമായി വിഭജിക്കാൻ സാധിക്കും. അതിനാൽ ലളിതഗ്രൂപ്പുകൾക്ക് ആന്തരഘടനയില്ലെന്ന് ഒരു തരത്തിൽ പറയാം.
ഉദാഹരണം[തിരുത്തുക]
പ്രത്യാവർത്തിഗ്രൂപ്പായ A5 ഒരു ലളിതഗ്രൂപ്പാണ്. 60 അംഗങ്ങളുള്ള ഈ ഗ്രൂപ്പിന് 59 ഉപഗ്രൂപ്പുകളുണ്ടെങ്കിലും തുച്ഛഗ്രൂപ്പും ഗ്രൂപ്പു തന്നെയും മാത്രമാണ് അഭിലംബമായുള്ളത്. ക്രമമല്ലാത്ത ഏറ്റവും ചെറിയ ലളിതഗ്രൂപ്പാണ് A5.
ക്രമ ലളിതഗ്രൂപ്പുകൾ[തിരുത്തുക]
ക്രമഗ്രൂപ്പുകളുടെ ഉപഗ്രൂപ്പുകളെല്ലാം അഭിലംബമാണ്. അതിനാൽ തുച്ഛമല്ലാത്ത ഉചിത ഉപഗ്രൂപ്പുകളുള്ള ക്രമഗ്രൂപ്പുകളൊന്നും ലളിതമാവുകയില്ല. മാത്രമല്ല, ഒരു പരിബദ്ധ ക്രമഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടി അഭാജ്യമല്ലെങ്കിൽ സൈലോ നിയമമനുസരിച്ച് ആ ഗ്രൂപ്പിന് തുച്ഛമല്ലാത്ത ഒരു ഉചിത ഉപഗ്രൂപ്പെങ്കിലും ഉണ്ടാകും. ഒരു പരിബദ്ധ ക്രമഗ്രൂപ്പ് ലളിതമാകണമെങ്കിൽ അതിന്റെ കോടി അഭാജ്യസംഖ്യയായിരിക്കണം എന്ന് വരുന്നു. കോടി അഭാജ്യമായുള്ള ഗ്രൂപ്പുകളെല്ലാം ചാക്രികഗ്രൂപ്പുകളാണ്. അതായത്, അഭാജ്യ കോടിയുള്ള ചാക്രികഗ്രൂപ്പുകൾ മാത്രമാണ് പരിബദ്ധ ക്രമ ലളിതഗ്രൂപ്പുകൾ. അനന്ത ക്രമഗ്രൂപ്പുകളൊന്നും ലളിതമല്ല താനും.
വർഗ്ഗീകരണം[തിരുത്തുക]
ലളിതഗ്രൂപ്പുകൾക്ക് പൊതുവായ ഒരു വർഗ്ഗീകരണം കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല. എന്നാൽ പരിബദ്ധ ലളിതഗ്രൂപ്പുകളെല്ലാം അഞ്ചിൽ ഒരു തരത്തിൽ പെട്ടവയാണ്:
- Zp : കോടി അഭാജ്യമായുള്ള ചാക്രികഗ്രൂപ്പുകൾ
- An (n ≥ 5) : പ്രത്യാവർത്തിഗ്രൂപ്പുകൾ
- ലീ ടൈപ്പിലുള്ള ഷെവാലെ ഗ്രൂപ്പുകൾ
- ലീ ടൈപ്പിലുള്ള പിരിയുള്ള ഷെവാലെ ഗ്രൂപ്പുകൾ, ടിറ്റ്സ് ഗ്രൂപ്പ്
- ഈ വർഗ്ഗങ്ങളിലൊന്നും പെടാത്ത 26 ഗ്രൂപ്പുകൾ. ഈ ഗ്രൂപ്പുകളെ സ്പൊറാഡിക് ഗ്രൂപ്പുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇവയിൽ 20 എണ്ണം മോൺസ്റ്റർ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പുകളോ ഉപഘടകങ്ങളോ ആണ്, ഇവയെ സന്തുഷ്ടകുടുംബം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ബാക്കി ആറെണ്ണത്തെ ഭ്രഷ്ടഗ്രൂപ്പുകൾ (pariah groups) എന്നും.