ലെവി-സിവിറ്റ ചിഹ്നം

വിക്കിപീഡിയ, ഒരു സ്വതന്ത്ര വിജ്ഞാനകോശം.

ടെൻസർ കലനത്തിൽ(Tensor calculus) ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രചിഹ്നമാണ് ലെവി-സിവിറ്റ ചിഹ്നം.ഇറ്റാലിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞനുമായിരുന്ന ടുള്ളിയോ ലെവി സിവിറ്റയോടുള്ള ബഹുമാനാർഥമായാണ് ഈ പേര് നൽകപ്പെട്ടത്.

നിർവചനം[തിരുത്തുക]

ത്രിമാന ലെവി സിവിറ്റ ചിഹ്നം താഴെക്കാണുന്ന വിധത്തിലാണ് നിർവചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത്;

 \varepsilon_{ijk} = 
\begin{cases}
+1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (1,2,3), (3,1,2) \mbox{ or } (2,3,1), \\
-1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (1,3,2), (3,2,1) \mbox{ or } (2,1,3), \\
0 & \mbox{if }i=j \mbox{ or } j=k \mbox{ or } k=i
\end{cases}

 \varepsilon_{ijk} ന്റെ വില,(i, j, k)എന്നത് (1,2,3) ന്റെ ഇരട്ട ക്രമചയമാണെങ്കിൽ (even permutation) 1ഉം ഒറ്റ ക്രമചയമാണെങ്കിൽ(odd permutation) -1ഉം i,j,k എന്നിവയിലേതെങ്കിലും ആവർത്തിക്കുകയാണെങ്കിൽ 0വും ആണ്.

ത്രിമാന ലെവി-സിവിറ്റ ചിഹ്നത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കാൻ താഴെക്കാണുന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കാം;


  \varepsilon_{ijk} = \frac{\left( j-i \right)\left( k-i \right)\left( k-j \right)}{2} = \frac{\left( i-j \right)\left( j-k \right)\left( k-i \right)}{2}

ചതുർമാനത്തിൽ ഇതിന്റെ മൂല്യം;


  \varepsilon_{ijkl} = \frac{\left( j-i \right)\left( k-i \right)\left( l-i \right)\left( k-j \right)\left( l-j \right)\left( l-k \right)}{12} = \frac{\left( i-j \right)\left( i-k \right)\left( i-l \right)\left( j-k \right)\left( j-l \right)\left( k-l \right)}{12}
ആണ്.

ഉദാഹരണത്തിന് രേഖീയ ബീജഗണിതത്തിൽ,3×3 മാട്രിക്സിന്റെ സാരണികം(determinant) ലെവി-സിവിറ്റ ചിഹ്നമുപയോഗിച്ച്


\det A = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_{1i} a_{2j} a_{3k}

എന്നെഴുതാം. രണ്ടു സദിശങ്ങളുടെ ക്രോസ് പ്രോഡക്ട് എഴുതാനും ഈ ചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കാം


\mathbf{a \times b} =
 \begin{vmatrix} 
 \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\
 a_1 & a_2 & a_3 \\
 b_1 & b_2 & b_3 \\
 \end{vmatrix}
= \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \mathbf{e_i} a_j b_k

കുറച്ചുകൂടി ലളിതമായിപ്പറഞ്ഞാൽ:


\mathbf{a \times b} = \mathbf{c},\ c_i = \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k.

അവലംബം[തിരുത്തുക]

"http://ml.wikipedia.org/w/index.php?title=ലെവി-സിവിറ്റ_ചിഹ്നം&oldid=1695686" എന്ന താളിൽനിന്നു ശേഖരിച്ചത്