വിക്കിപീഡിയ, ഒരു സ്വതന്ത്ര വിജ്ഞാനകോശം.
ടെൻസർ കലനത്തിൽ(Tensor calculus) ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രചിഹ്നമാണ് ലെവി-സിവിറ്റ ചിഹ്നം .ഇറ്റാലിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞനുമായിരുന്ന ടുള്ളിയോ ലെവി സിവിറ്റയോടുള്ള ബഹുമാനാർഥമായാണ് ഈ പേര് നൽകപ്പെട്ടത്.
ത്രിമാന ലെവി സിവിറ്റ ചിഹ്നം താഴെക്കാണുന്ന വിധത്തിലാണ് നിർവചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത്;
ε
i
j
k
=
{
+
1
if
(
i
,
j
,
k
)
is
(
1
,
2
,
3
)
,
(
3
,
1
,
2
)
or
(
2
,
3
,
1
)
,
−
1
if
(
i
,
j
,
k
)
is
(
1
,
3
,
2
)
,
(
3
,
2
,
1
)
or
(
2
,
1
,
3
)
,
0
if
i
=
j
or
j
=
k
or
k
=
i
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\mbox{if }}(i,j,k){\mbox{ is }}(1,2,3),(3,1,2){\mbox{ or }}(2,3,1),\\-1&{\mbox{if }}(i,j,k){\mbox{ is }}(1,3,2),(3,2,1){\mbox{ or }}(2,1,3),\\0&{\mbox{if }}i=j{\mbox{ or }}j=k{\mbox{ or }}k=i\end{cases}}}
ε
i
j
k
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}
i , j , k )എന്നത് (1,2,3) ന്റെ ഇരട്ട ക്രമചയമാണെങ്കിൽ (even permutation) 1ഉം ഒറ്റ ക്രമചയമാണെങ്കിൽ(odd permutation) -1ഉം i,j,k എന്നിവയിലേതെങ്കിലും ആവർത്തിക്കുകയാണെങ്കിൽ 0വും ആണ്.
ത്രിമാന ലെവി-സിവിറ്റ ചിഹ്നത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കാൻ താഴെക്കാണുന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കാം;
ε
i
j
k
=
(
j
−
i
)
(
k
−
i
)
(
k
−
j
)
2
=
(
i
−
j
)
(
j
−
k
)
(
k
−
i
)
2
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\frac {\left(j-i\right)\left(k-i\right)\left(k-j\right)}{2}}={\frac {\left(i-j\right)\left(j-k\right)\left(k-i\right)}{2}}}
ചതുർമാനത്തിൽ ഇതിന്റെ മൂല്യം;
ε
i
j
k
l
=
(
j
−
i
)
(
k
−
i
)
(
l
−
i
)
(
k
−
j
)
(
l
−
j
)
(
l
−
k
)
12
=
(
i
−
j
)
(
i
−
k
)
(
i
−
l
)
(
j
−
k
)
(
j
−
l
)
(
k
−
l
)
12
{\displaystyle \varepsilon _{ijkl}={\frac {\left(j-i\right)\left(k-i\right)\left(l-i\right)\left(k-j\right)\left(l-j\right)\left(l-k\right)}{12}}={\frac {\left(i-j\right)\left(i-k\right)\left(i-l\right)\left(j-k\right)\left(j-l\right)\left(k-l\right)}{12}}}
ഉദാഹരണത്തിന് രേഖീയ ബീജഗണിതത്തിൽ ,3×3 മാട്രിക്സിന്റെ സാരണികം (determinant) ലെവി-സിവിറ്റ ചിഹ്നമുപയോഗിച്ച്
det
A
=
∑
i
=
1
3
∑
j
=
1
3
∑
k
=
1
3
ε
i
j
k
a
1
i
a
2
j
a
3
k
{\displaystyle \det A=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}}
എന്നെഴുതാം.
രണ്ടു സദിശങ്ങളുടെ ക്രോസ് പ്രോഡക്ട് എഴുതാനും ഈ ചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കാം
a
×
b
=
|
e
1
e
2
e
3
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
|
=
∑
i
=
1
3
∑
j
=
1
3
∑
k
=
1
3
ε
i
j
k
e
i
a
j
b
k
{\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\mathbf {e_{i}} a_{j}b_{k}}
കുറച്ചുകൂടി ലളിതമായിപ്പറഞ്ഞാൽ:
a
×
b
=
c
,
c
i
=
∑
j
=
1
3
∑
k
=
1
3
ε
i
j
k
a
j
b
k
.
{\displaystyle \mathbf {a\times b} =\mathbf {c} ,\ c_{i}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}.}
