രേഖീയ ബീജഗണിതം

വിക്കിപീഡിയ, ഒരു സ്വതന്ത്ര വിജ്ഞാനകോശം.
R3 ദിശകളോടുകീടിയ ഒരു ത്രിമാന യുക്ലീഡിയൻ സ്ഥലം

രേഖീയ ബീജഗണിതം{Linear algebra} ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഒരു ശാഖയാണു്. രേഖീയ ശ്രേണികളുടെ (System of linear equations) നിർധാരണം ചെയ്യുന്ന രീതികളി ൽ നിന്നാണ് ഈ ശാഖയുടെ ഉദ്ഭവം. രേഖീയ സമീകരണങ്ങളുടെ ശ്രേണികകൾ (System of linear equations) നിർധാരണം ചെയ്യുന്ന രീതികളി ൽ നിന്നാണ് ഈ ശാഖയുടെ ഉദ്ഭവം. അങ്ങന്നെയുള്ള സമീകരണങ്ങൾ സ്വാഭാവികമായി മാട്രിക്സ്‌ഉം വെക്ടർഉം ഉപയോഗിച്ച് എഴുതാം [1]. ശുദ്ധഗണിതത്തിന്റേയും, പ്രയുക്ത ഗണിതത്തിന്റേയും അടിസ്ഥാനമാണു് ഈ ശാഖ.

ചരിത്രം[തിരുത്തുക]

ഡിറ്റർമിനന്റുകളുടെ പഠനത്തോടെയാണ് രേഖീയ ബീജഗണിതത്തിന്റെ ഉദ്ഭവമെന്ന് പറയാം. 1693-ൽ ഗൊട്ട് ഫ്രീഡ്‌ ലെയ്ബ്നിസ് ഡിറ്റർമിനന്റുകൾ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു, തുടർന്ന് 1750-ൽ ഗബ്രിയേൽ ക്രാമർ, ക്രാമർ നിയമം രൂപീകരിച്ചു. പിന്നീട് 1800കളുടെ തുടക്കത്തിൽ [2] കാൾ ഫ്രെഡറിക് ഗോസ്സ് രേഖീയ ശ്രേണികളുടെ (System of linear equations) നിർധാരണം ചെയ്യാനായി ഗോസ്സിയൻ എലിമിനേഷൻ രൂപീകരിച്ചു

ആശയങ്ങൾ[തിരുത്തുക]

സദിശസമഷ്ടി[തിരുത്തുക]

പ്രധാന ലേഖനം: സദിശസമഷ്ടി

രേഖീയ ബീജഗണിതത്തിലെ പ്രധാന ആശയങ്ങളിലൊന്നാണ് സദിശസമഷ്ടിഅഥവാ വെക്റ്റർ സ്പേയ്സ്(Vector space). ഇതിലെ അംഗങ്ങളാണ് സദിശങ്ങൾ (Vectors).ഏറ്റവും ലളിതമായ വെക്റ്റർ സ്പേയ്സുകളാണ് ദ്വിമാനവും (2Dimesion) ത്രിമാനവും(3Dimension). വെക്റ്റർ സ്പേയ്സ് എന്നാൽ പ്രധാനസംകാരകങ്ങൾ സദിശസങ്കലനവും അദിശഗുണനവും ആയ ഒരു ഗണമാണ്.

F എന്ന രേഖീയസംഖ്യകളുടേയോ സമ്മിശ്രസംഖ്യകളുടേയോ ഒരു ക്ഷേത്രത്തെ(Field) പരിഗണിക്കുക. ഇതിലെ അംഗങ്ങൾ അദിശങ്ങളാണ്. F എന്ന ക്ഷേത്രത്തിൽ നിർവ്വചിക്കുന്ന വെക്റ്റർ സ്പേയ്സ് എന്നാൽ സദിശസങ്കലനം, അദിശഗുണനം എന്നീ രണ്ട് സംകാരകങ്ങളടങ്ങിയ ഒരു ഗണമാണ്.

സ്വയം‌സിദ്ധപ്രമാണങ്ങൾ[തിരുത്തുക]

എല്ലാ u, v, w ∈ V, u + (v + w) = (u + v) + w.

എല്ലാ v, w ∈ V, v + w = w + v.

എല്ലാ v ∈ Vയ്ക്കും 0 ∈ V,എങ്ങനെയെന്നാൽv + 0 = v

  • സദിസസങ്കലനത്തിന് വിപരീത‌അംഗങ്ങൾ ഉണ്ട്

എല്ലാ v ∈ Vയ്ക്കും സങ്കലനവിപരീതം wഉണ്ട്.എങ്ങനെയെന്നാൽ v + w = 0.

  • സദിശസങ്കലനത്തിൽ അദിശഗുണനം വിതരണനിയമം പാലിക്കുന്നു

എല്ലാ a ∈ F യ്ക്കും v, w ∈ Vയ്ക്കും a (v + w) = a v + a w.

  • ക്ഷേത്രസങ്കലനത്തിൽ അദിശഗുണനം വിതരണനിയമം പാലിക്കുന്നു

എല്ലാ a, b ∈ F യ്ക്കും v ∈ V,യ്ക്കും (a + b) v = a v + b v.

  • അദിശക്ഷേത്രത്തിൽ അദിശഗുണനം സാദ്ധ്യമാണ്.

എല്ലാ a, b ∈ F യ്ക്കും v ∈ V, a (b v) = (ab) v.

  • അദിശഗുണനത്തിൽ 1 തൽസമകസംഖ്യയാണ്.

അവലംബം[തിരുത്തുക]

  1. Weisstein, Eric. "Linear Algebra". From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram. ശേഖരിച്ചത്: 16 April 2012. 
  2. Vitulli, Marie. "A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory". Department of Mathematics. University of Oregon. ശേഖരിച്ചത്: 2012-01-24. 
"http://ml.wikipedia.org/w/index.php?title=രേഖീയ_ബീജഗണിതം&oldid=1728508" എന്ന താളിൽനിന്നു ശേഖരിച്ചത്