കൺവേർജന്റ് സീരിസ്

വിക്കിപീഡിയ, ഒരു സ്വതന്ത്ര വിജ്ഞാനകോശം.
Jump to navigation Jump to search

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, അനന്തമായ അനുക്രമ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയാണ് ഒരു ശ്രേണി എന്നറിയപ്പെടുന്നത്. കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, അനന്തമായ ഒരു അനുക്രമം , ഉപയോഗിച്ച് S എന്ന ഒരു ശ്രേണിയെ ഇപ്രകാരം നിർവ്വചിക്കാം,

അനുക്രമത്തിലെ ആദ്യത്തെ n സംഖ്യകളുടെ തുകയാണ് n-ാമത് ആംശിക തുക (Partial sum) അഥവാ Sn,

ഒരു ശ്രേണി അഭിസരണമാണെങ്കിൽ (Convergent series) ആ ശ്രേണിയുടെ ആംശികതുകകളായ എന്നിവ ഒരു പരിധിയിലേയ്ക്ക് പ്രവണമാകും; അതിനർത്ഥം, ഓരോ തവണയും എന്ന അംഗത്തെ കൂട്ടിക്കിട്ടുന്ന ആംശികതുക ഒരു നിശ്ചിതസംഖ്യയുമായി കുടുതൽ കൂടുതൽ അടുത്തുകൊണ്ടിരിക്കും.

ശ്രേണി അഭിസരണമാണെങ്കിൽ , നെ ആ ശ്രേണിയുടെ ആകെത്തുക എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ശ്രേണി അതിൻ്റെ ആകെത്തുകയിലേയ്ക്ക് അഭിസരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ അതിനെ മേൽപ്പറഞ്ഞ അതേ പ്രതീകമായ,

ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. സങ്കലനക്രിയയ്ക്ക് ഉപയോഗിക്കാറുളള അതേ സമ്പ്രദായത്തിന് തുല്യമാണ് ഇതും: a + b എന്നാൽ a, b എന്നിവയുടെ സങ്കലനക്രിയയെ മാത്രമല്ല സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ആ സങ്കലനക്രിയയുടെ തുകയെക്കൂടിയാണ്.

അഭിസരണമല്ലാത്ത ശ്രേണികളെ അപസരണ ശ്രേണികൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

കൺവർജന്റും ഡൈവർജന്റുമായ ശ്രേണികളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ[തിരുത്തുക]

  • ധന പൂർണസംഖ്യകളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു ഡൈവർജന്റ് ശ്രേണി (ഹാർമോണിക ശ്രേണി) ഉണ്ടാക്കുന്നു:
  • ധന പൂർണസംഖ്യകളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങളുടെ ചിഹ്നം ഒന്നിടവിട്ട് മാറ്റം വരുത്തിയാൽ അത് ഒരു കൺവർജന്റ് ശ്രേണി ( പ്രത്യാവർത്തി ഹാർമോണിക ശ്രേണി) ഉണ്ടാക്കുന്നു:
  • അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അപസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു. :
  • ത്രിഭുജസംഖ്യകളുടെ (triangular numbers) വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു:
  • ക്രമഗുണിതങ്ങളുടെ (factorials) വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അപസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു ( e കാണുക):
  • വർഗ്ഗസംഖ്യകളുടെ (square numbers) വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അഭിസണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു. (ബേസൽ സമസ്യ):
  • 2 ൻ്റെ ഘാതങ്ങളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു. (അതുകൊണ്ടുതന്നെ 2 ൻ്റെ ഘാതങ്ങളുടെ ഗണം "ചെറുത്" ആണ്):
  • n>1 ആയവയുടെ ഘാതത്തിൻ്റെ വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു:
  • 2 ൻ്റെ ഘാതങ്ങളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങളുടെ ചിഹ്നം ഒന്നിടവിട്ട് മാറ്റുന്നത് ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു:
  • n>1 ആയവയുടെ ഘാതത്തിൻ്റെ വ്യുൽക്രമങ്ങളുടെ ചിഹ്നം ഒന്നിടവിട്ട് മാറ്റുന്നത് ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു:
  • ഫിബനാസി സംഖ്യകളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു. (ψ കാണുക):

കൺവർജൻസ് പരിശോധനകൾ[തിരുത്തുക]

ഒരു ശ്രേണി അഭിസരിക്കുന്നുവോ അപസരിക്കുന്നുവോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്.

നീല ശ്രേണിയായ, , അഭിസരണമാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ കഴിഞ്ഞാൽ, ചെറിയ ശ്രേണിയായ, അഭിസരണമായിരിക്കും. സമാനമായി, ചുവന്ന ശ്രേണിയായ അപസരണമാണെന്ന് തെളിയിച്ചാൽ ഉം അപസരണമായിരിക്കും.

താരതമ്യ പരിശോധന . അനുക്രമം ലെ പദങ്ങലെ മറ്റൊരു അനുക്രമം ഉം ആയി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ,

എല്ലാ n നും, , അഭിസരിക്കുന്നു, നും അതു തന്നെ സംഭവിക്കുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും,

എല്ലാ n നും, , അപസരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, നും അതുതന്നെ സംഭവിക്കും.

അനുപാത പരിശോധന (Ratio test) . എല്ലാ n- നും , പൂജ്യമല്ല എന്നു സങ്കൽപ്പിക്കുക. എന്നൊന്ന് താഴെപ്പറയും പ്രകാരം ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക

r <1 ആണെങ്കിൽ, ശ്രേണി തികച്ചും അഭിസരണമാണ്. r > 1, ആണെങ്കിൽ, ശ്രേണി അപസരണമാണ്. r = 1, ആണെങ്കിൽ, അനുപാത പരിശോധന അനിശ്ചിതമാണ്, ശ്രേണി അഭിസരണമോ അപസരണമോ ആകാം.

വർഗ്ഗമൂല പരിശോധന (Root test) അല്ലെങ്കിൽ n ാം വർഗ്ഗമൂലപരിശോധന. പ്രസ്തുത ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങൾ ഋണമല്ലെന്ന് കരുതുക. r ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവ്വചിക്കുക:

ഇവിടെ "lim sup" എന്നത് പരമോന്നത പരിധിയെ (limit superior) സൂചിപ്പിക്കുന്നു (അത് ∞ ആയേക്കാം).

r <1 ആണെങ്കിൽ, ശ്രേണി അഭിസരണമാണ്. r > 1, ആണെങ്കിൽ, ശ്രേണി അപസരണമാണ്. r = 1, ആണെങ്കിൽ, വർഗ്ഗമൂല പരിശോധന അനിശ്ചിതമാണ്, ശ്രേണി അഭിസരണമോ അപസരണമോ ആകാം.

അനുപാത പരിശോധനയും വർഗ്ഗമൂല പരിശോധനയും ഒരു ജ്യാമിതീയ ശ്രേണിയുമായുള്ള താരതമ്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, അതുപോലെ തന്നെ അവ സമാന സാഹചര്യങ്ങളിൽ വർത്തിക്കുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, അനുപാത പരിശോധന വിജയകരമാണെങ്കിൽ വർഗ്ഗമൂലപരിശോധനയും വ്യത്യസ്തമാകുകയില്ല; അതിനാൽ, വർഗ്ഗമൂല പരിശോധനയാണ് കൂടൂതൽ പ്രായോഗികം, എന്നാൽ സാധാരണയായി കാണുന്ന തരത്തിലുള്ള ശ്രേണികളുടെ പരിധി കണക്കാക്കുന്നത് പലപ്പോഴും ബുദ്ധിമുട്ടാണ്.

സമാകലന പരിശോധന (Integral Test) . അഭിസരണവും അപസരണവും നിർണയിക്കുന്നതിന് ശ്രേണിയെ ഒരു സമാകല(Integral)വുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാം. ഒരു പോസിറ്റീവും ഏകതാനമായി കുറയുന്ന ഫലനവും ആണെന്നിരിക്കട്ടെ,

ആയാൽ ശ്രേണി അഭിസരിക്കും. എന്നാൽ സമാകല്യം അപസരിച്ചാൽ ശ്രേണിക്കും അതു തന്നെ സംഭവിക്കും.

പരിധി താരതമ്യ പരിശോധന (Limit comparison test) . ഉം, എന്ന പരിധി ഉണ്ടായിരിക്കുകയും, അത് അപൂജ്യവുമാണെങ്കിൽ, അഭിസരിച്ചാൽ മാത്രമേ യും അഭിസരിക്കുകയുളളു.

യൂണിഫോം കൺവർജൻസ് (Uniform convergence)[തിരുത്തുക]

എന്നിവ ഫലനങ്ങളുടെ ഒരു അനുക്രമം ആണെന്നിരിക്കട്ടെ. എന്ന ശ്രേണി f ലേയ്ക്ക് ഏകതാനമായി അഭിസരിക്കുന്നു എന്ന് പറയണമെങ്കിൽ ആംശികതുകകളുടെ അനുക്രമമായ ,

എന്നത് f ലേയ്ക്ക് ഏകതാനമായി അഭിസരിക്കണം.

പുറത്തേക്കുള്ള കണ്ണികൾ[തിരുത്തുക]

"https://ml.wikipedia.org/w/index.php?title=കൺവേർജന്റ്_സീരിസ്&oldid=3619867" എന്ന താളിൽനിന്ന് ശേഖരിച്ചത്