സഹഗണം

വിക്കിപീഡിയ, ഒരു സ്വതന്ത്ര വിജ്ഞാനകോശം.
D4 ന്റെ കെയ്ലി പട്ടിക
id r1 r2 r3 fv fh fd fc
id id r1 r2 r3 fv fh fd fc
r1 r1 r2 r3 id fc fd fv fh
r2 r2 r3 id r1 fh fv fc fd
r3 r3 id r1 r2 fd fc fh fv
fv fv fd fh fc id r2 r1 r3
fh fh fc fv fd r2 id r3 r1
fd fd fh fc fv r3 r1 id r2
fc fc fv fd fh r1 r3 r2 id
ചുവപ്പുനിറത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുള്ള id, r1, r2, and r3 ഇവ ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പ് ഉണ്ടാക്കുന്നു. ഇടതും വലതും സഹഗണങ്ങൾ യഥാക്രമം പച്ചനിറത്തിലും മഞ്ഞനിറത്തിലുമായി സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

G എന്ന ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പാണ് H എന്ന് കരുതുക. G യിലെ ഒരു അംഗമാണ് g എന്നുണ്ടെങ്കിൽ:

gH = {gh : h ∈ H } എന്ന ഗണത്തെ G യിൽ H ന്റെ ഇടതു സഹഗണം എന്നും
Hg = {hg : h ∈ H } എന്ന ഗണത്തെ G യിൽ H ന്റെ വലതു സഹഗണം എന്നും വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ഗ്രൂപ്പിലെ ഏതെങ്കിലും ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ ഇടതോ വലതോ സഹഗണമായി വരുന്ന ഗണങ്ങളെ പൊതുവായി സഹഗണങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ ഇടതുസഹഗണം മറ്റൊരു ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ വലതുസഹഗണമായി വരാം.

H ഒരു അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പാകുമ്പോഴാണ് ഇടതും വലതും സഹഗണങ്ങൾ തുല്യമാകുന്നത്. ഈ അവസരത്തിൽ H ന്റെ സഹഗണങ്ങളെല്ലാം കൂടി ഒരു ഘടകഗ്രൂപ്പ് നിർമ്മിക്കുന്നു.

ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ ഇടതുസഹഗണങ്ങളുടെയും വലതുസഹഗണങ്ങളുടെയും എണ്ണം തുല്യമായിരിക്കും. ഈ സംഖ്യയെ ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ സൂചകാങ്കം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം[തിരുത്തുക]

G എന്നത് സങ്കലനം സംക്രിയയായുള്ള പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗ്രൂപ്പാണെന്ന് (Z= {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}) കരുതുക. m>1 ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെങ്കിൽ m ന്റെ ഗുണിതങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പായ mZ = {…, −2m, −m, 0, m, 2m, …} ഈ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പാണ്. ഈ ഉപഗ്രൂപ്പിനെ H എന്ന് വിളിക്കുക. H ന് m സഹഗണങ്ങളുണ്ട് : mZ, mZ+1, … mZ+(m−1). ഇവിടെ mZ+a എന്നാൽ {…, −2m+a, −m+a, a, m+a, 2m+a, …} എന്ന ഗണമാണ്. G ഒരു ക്രമഗ്രൂപ്പായതിനാൽ ഇടതുസഹഗണങ്ങളും വലതുസഹഗണങ്ങളും തുല്യമാണ്.

ലഗ്രാഞ്ച് പ്രമേയം[തിരുത്തുക]

ഒരു പ്രത്യേക ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ രണ്ട് സഹഗണങ്ങൾ തുല്യമല്ലെങ്കിൽ അവയുടെ സംഗമം ശൂന്യമായിരിക്കും. മാത്രമല്ല, ഗ്രൂപ്പിലെ ഓരോ അംഗവും ഒരു പ്രത്യേക ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ ഒരു സഹഗണത്തിലെങ്കിലും അംഗമാണെന്ന് കാണാം. ഈ രണ്ട് സവിശേഷതകളെയും ചേർത്തുവായിച്ചാൽ, ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ ഇടതുസഹഗണങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ (ഇതാണ് ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ സൂചകാങ്കം) ഉപഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം ലഭിക്കുമെന്ന് വരുന്നു. അതായത്,

\left|G\right| = \left[G : H\right] \cdot \left|H\right|

ഓരോ ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെയും കോടി മാതൃഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടിയുടെ ഘടകമാണെന്ന് ഇതിൽനിന്നും മനസ്സിലാക്കാം. ഈ പ്രസ്താവനയാണ് ലഗ്രാഞ്ച് പ്രമേയം.

അവലംബം[തിരുത്തുക]

"http://ml.wikipedia.org/w/index.php?title=സഹഗണം&oldid=1735482" എന്ന താളിൽനിന്നു ശേഖരിച്ചത്