തൊടുവര

വിക്കിപീഡിയ, ഒരു സ്വതന്ത്ര വിജ്ഞാനകോശം.
(ടാൻജെന്റ് എന്ന താളിൽ നിന്നും തിരിച്ചുവിട്ടതു പ്രകാരം)
ഒരു വക്രത്തിന്റെ തൊടുവര.
ഒരു ഗോളത്തിന്റെ തൊടുതലം.

ഒരു വക്രത്തിലെ ഒരു ബിന്ദു മാത്രം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന രേഖയാണ് വക്രത്തിന്റെ ആ ബിന്ദുവിലെ ടാൻജെന്റ്. ഇത് സ്പർശകം അഥവാ സ്പർശരേഖ (tangent line) എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു. സ്പർശരേഖകൾ എന്നാണ് തൊടുവരകൾ എന്നതിന്റെ പഴയപേര്. വക്രത്തിൽ ഒരു ബിന്ദുവിലുള്ള സ്പർശകം ആ ബിന്ദുവിലൂടെയുള്ള ഏതെങ്കിലും ഛേദകരേഖ(secant)യുടെ സീമാന്തസ്ഥാന (limiting position)മായി കരുതാവുന്നതാണ്.

പ്രത്യേകതകൾ[തിരുത്തുക]

  • ഒരു വൃത്തത്തെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ തൊടുന്ന വരയെ വൃത്തത്തിന്റെ തൊടുവര എന്നുപറയുന്നു.
  • ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽക്കൂടിയുള്ള രേഖ, ആ ബിന്ദുവിൽക്കൂടി യുള്ള ആരത്തിനു ലംബമാണെങ്കിൽ ആ രേഖ വൃത്തത്തിന്റെ തൊടുവരയായിരിക്കും.
  • ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലെ തൊടുവര ആ ബിന്ദുവിൽക്കൂടിയുള്ള ആരത്തിനു ലംബമാണ്.ഒരു ബാഹ്യബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ഒരു വൃത്തത്തിലേയ്ക്ക് രണ്ടു തൊടുവരകൾ വരയ്ക്കാം.
  • വരയ്ക്കുന്ന തൊടുവരകൾ രണ്ടും തുല്യമാണ്.
  • ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽകൂടി ഒരു തൊടുവര മാത്രമേ വരയ്ക്കാൻ കഴിയൂ.

ദ്വിവിമീയ സ്പേസിൽ y=f (x) എന്ന വക്രത്തിലെ P(x,y) എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പർശകം X-അക്ഷത്തിന്റെ ധനാത്മകദിശയുമായി ചരിഞ്ഞിരിക്കുന്ന കോണത്തിന്റെ അളവ് θആയാൽ tanθ=f '(x).Tan θ യെ സ്പർശകത്തിന്റെ ചരിവ് (slope) എന്നു പറയുന്നു. ചരിവിനെ കുറിക്കാൻ 'm' എന്ന പ്രതീകമുപയോഗിച്ചാൽ m = f ' (x) എന്നു കിട്ടുന്നു. വക്രത്തിലെ (x1, y1) എന്ന ബിന്ദുവിലുള്ള സ്പർശകത്തിന്റെ സമീകരണമാണ് y - y1 = f ' (x1) (x-x1).

ഉദാഹരണമായി x2 + y2 = a2 എന്ന വൃത്തത്തിലെ (x1, y1) എന്ന ബിന്ദുവിൽ വരയ്ക്കുന്ന സ്പർശകത്തിന്റെ സമീകരണമാണ് xx1 + yy1 = a2. പരാബൊളയുടെ മാനക സമീകരണം y2 = 4ax. ഇതിലെ (x1, y1) എന്ന ബിന്ദുവിലുള്ള സ്പർശകത്തിന്റെ സമീകരണം yy1 = 2a (x + x1) ആണ്.

ഒരു വക്രത്തിലെ P (x,y) എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പർശകം X അക്ഷത്തെ T എന്ന ബിന്ദുവിൽ പ്രതിച്ഛേദിച്ചാൽ P യും T യും തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തെ സ്പർശക ദൂരം (length of the tangent) എന്നു പറയുന്നു.

സ്പർശതലം (tangent plane). ഒരു പ്രതല(surface)ത്തിലുള്ള P എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഒരു രേഖ സ്പർശകമാകണമെങ്കിൽ ആ ബിന്ദുവിൽക്കൂടി കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വക്രത്തിന് (പ്രതലത്തിലുള്ളത്) ഈ രേഖ സ്പർശകമായിരിക്കണം. p യിൽക്കൂടി കടന്നുപോകുന്ന എല്ലാ സ്പർശകങ്ങളും ഉള്ള സമതലത്തെ സ്പർശതലം എന്നു പറയുന്നു. f (x,y,z) = 0 എന്ന പ്രതലത്തിലെ (x 1,y1,z1) എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പർശതലത്തിന്റെ സമീകരണമാണ് f1(x1,y1,z1) (x - x1) + f2 (x1,y1,z1) (y - y11) + f3 (x1,y1,z1) (z-z11)=0.

ഇതിൽf1,f2,f3എന്നിവ(x1,y1,z1)ലെ f ന്റെ x,y,z കൊണ്ടുള്ള ആംശിക (partial) അവകലജങ്ങളാണ്. ഉദാഹരണത്തിന് x2 + y2 +z2 = a2 എന്ന ഗോളത്തിന്റെ (x1y1z1) എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പർശതലമാണ് x x1 + yy1 + zz1 = a2.

ടാൻജെന്റ് ഫലനം (tangent function). സമകോണിക കാർട്ടീഷ്യൻ തലത്തിൽ P(x,y) ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുവും ∠ XOP = A യും ആയാൽ അ യുടെ ടാൻജെന്റ് ഫലനം tan A = \frac{ y}{x} എന്ന് എഴുതുന്നു. A-യ്ക്ക് മാറ്റം വരുന്നതനുസരിച്ച് tan A യുടെ വിലയും മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന് tan 0°= 0 ; tan 45° = 1;tan 90°= ∞.ഏതെങ്കിലുമൊരു ത്രികോണം ABC യിൽ കോണങ്ങൾ A, B, C യുടെ എതിർവശങ്ങൾ a,b,c ആയാൽ

tan \frac{B-C}{2} =\frac{b-c}{b+c}Cot\frac{A}{2}

ത്രികോണമിതിയിൽ ഇതിനെ ടാൻജെന്റ് നിയമം (tangent law) എന്നു പറയുന്നു. ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ത്രികോണനിർധാരണത്തിന് ഈ ഫോർമുലയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

y = tan x എന്ന ഫലനത്തിന്റെ ആലേഖ(graph)ത്തെ ടാൻജെന്റ് വക്രം (tangent curve) എന്നു പറയുന്നു. ഇതൊരു സന്തത (continous) വക്രമല്ല. മൂലബിന്ദുവിൽക്കൂടി പോകുന്ന വക്രത്തിന്റെ ശാഖ Image:pno72formula2.png ഈ രേഖകൾക്ക് അനന്തസ്പർശരേഖീയ (asymptotic)മാണ്

Heckert GNU white.svg കടപ്പാട്: കേരള സർക്കാർ ഗ്നൂ സ്വതന്ത്ര പ്രസിദ്ധീകരണാനുമതി പ്രകാരം ഓൺലൈനിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച മലയാളം സർ‌വ്വവിജ്ഞാനകോശത്തിലെ ടാൻജെന്റ് എന്ന ലേഖനത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കം ഈ ലേഖനത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ട്. വിക്കിപീഡിയയിലേക്ക് പകർത്തിയതിന് ശേഷം പ്രസ്തുത ഉള്ളടക്കത്തിന് സാരമായ മാറ്റങ്ങൾ വന്നിട്ടുണ്ടാകാം.
"http://ml.wikipedia.org/w/index.php?title=തൊടുവര&oldid=2111669" എന്ന താളിൽനിന്നു ശേഖരിച്ചത്