സീ പരിവർത്തനം

വിക്കിപീഡിയ, ഒരു സ്വതന്ത്ര വിജ്ഞാനകോശം.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ സീ പരിവർത്തനം ഒരു ഡിസ്ക്രീറ്റ് സിഗ്നലിനെ സമയമണ്ഡലതിൽ നിന്നും മിശ്രസംഖ്യാ ആവൃത്തിമണ്ഡലത്തിലേക്കു മാറ്റുന്നു. ഡിസ്ക്രീറ്റ് സമയമണ്ഡലത്തിൽ ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനതിന്നു സമാനമാകുന്നു.

പുരാവൃത്തം[തിരുത്തുക]

സീ പരിവർത്തനതിന്റെ അടിസ്ഥാന ആശയം പിയറെ സൈമൺ ലാപ്ലേസ് എന്ന ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന് അറിയുമായിരുന്നു, 1947 ഹുർവിക്സ് എന്ന ശാസ്‌ത്രജ്ഞൻ ഇത് പുനഃരവതരിപ്പിചു.[1]. ഇതിന്നു സീ പരിവർത്തനം (Z-Transform) എന്ന നാമം നൽകിയതു 1952 ൽ രഗാസ്സിനിയും സാദെയും ആണു.[2][3]

നിർവചനം[തിരുത്തുക]

എതൊരു സമാകലനപരിവർത്തനം പോലെ സീ പരിവർത്തനം എകദിശയൊ ദ്വയദിശയൊ ആകാം.

ദ്വയദിശാ സീ പരിവർത്തനം[തിരുത്തുക]

x[n] എന്ന സിഗ്നലിന്റെ ദ്വയദിശാ സീ പരിവർത്തനതിനെ ഇങ്ങനെ സൂചിപിക്കുന്നു

X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}

n ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും z ഒരു മിശ്രസംഖ്യയും ആകുന്നു

z = A e^{j\phi} = A(\cos{\phi}+j\sin{\phi})\,.

എകദിശാപരിവർത്തനം[തിരുത്തുക]

x[n] എന്ന സിഗ്നൽ പൂജ്യത്തൽ ആരംഭികുന്ന സിഗ്നൽ ആണ് എങ്കിൽ എകദിശാ സീ പരിവർത്തനതിനെ ഇങ്ങനെ സൂചിപിക്കുന്നു

X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}

n ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും z ഒരു മിശ്രസംഖ്യയും ആകുന്നു

z = A e^{j\phi} = A(\cos{\phi}+j\sin{\phi})\,.

പ്രതിലോമ സീ പരിവർത്തനം[തിരുത്തുക]

പ്രതിലോമ സീ പരിവർത്തനതിനെ ഇങ്ങനെ നിർവചികുന്നു

 x[n] = \mathcal{Z}^{-1} \{X(z) \}= \frac{1}{2 \pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz

C അടഞ്ഞ,മൂലബിന്ദുവിനെ ഉൾകൊള്ളുന്ന, ഏകത്ര കേന്ദ്രീകരണ മേഖലയിൽ പൂർണ്ണമയും ഉൾകൊള്ളുന്ന അപ്രദക്ഷിണദിശചലനങ്ങളുടെ ശൃംഖല ആകൂന്നു.

ഏകത്ര കേന്ദ്രീകരണ മേഖല[തിരുത്തുക]

സീ പരിവർത്തനസങ്കലനം ഏകത്ര കേന്ദ്രീകരിക്കുന്ന ബിന്ദുസമൂഹമാന്നു ഏകത്ര കേന്ദ്രീകരണ മേഖല

ROC = \left\{ z : \left|\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}\right| < \infty \right\}

ഗുണവിശേഷങ്ങൾ[തിരുത്തുക]

Properties of the z-transform
സമയമണ്‌ഡലം Z-മണ്‌ഡലം തെളിവ് ഏകത്ര കേന്ദ്രീകരണ മേഖല
Notation x[n]=\mathcal{Z}^{-1}\{X(z)\} X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\} r_2<|z|<r_1
രേഖീയത a_1 x_1[n] + a_2 x_2[n] a_1 X_1(z) + a_2 X_2(z) \begin{align}X(z) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} (a_1x_1(n)+a_2x_2(n))z^{-n} \\
         &= a_1\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1(n)z^{-n} + a_2\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_2(n)z^{-n} \\
         &= a_1X_1(z) + a_2X_2(z) \end{align} Contains ROC1 ∩ ROC2
സമയവികാസം x_{(k)}[n] = \begin{cases} x[r], & n = rk \\ 0, & n \not= rk \end{cases}

r\in \mathbb{Z}

X(z^k) \begin{align} X_k(z) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_k(n)z^{-n} \\
&= \sum_{r=-\infty}^{\infty}x(r)z^{-rk}\\
&= \sum_{r=-\infty}^{\infty}x(r)(z^{k})^{-r}\\
&= X(z^{k}) \end{align} R^{\frac{1}{k}}
സമയവ്യതിയാനം x[n-k] z^{-k}X(z) \begin{align} Z\{x[n-k]\} &= \sum_{n=0}^{\infty} x[n-k]z^{-n}\\
&= \sum_{j=-k}^{\infty} x[j]z^{-(j+k)}&& j = n-k \\
&= \sum_{j=-k}^{\infty} x[j]z^{-j}z^{-k} \\
&= z^{-k}\sum_{j=-k}^{\infty}x[j]z^{-j}\\
&= z^{-k}\sum_{j=0}^{\infty}x[j]z^{-j} && x[\beta] = 0,  \beta < 0\\
&= z^{-k}X(z)\end{align} ROC, except z = 0 if k > 0 and z = ∞ if k < 0
സീ മണ്‌ഡലവികാസം a^n x[n] X(a^{-1}z) \begin{align}\mathcal{Z} \left \{a^n x[n] \right \} &=  \sum_{n=-\infty}^{\infty} a^{n}x(n)z^{-n} \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(a^{-1}z)^{-n} \\
&= X(a^{-1}z)
\end{align} |a|r_2 < |z|< |a|r_1
സമയവിപരീതനം x[-n] X(z^{-1}) \begin{align} \mathcal{Z}\{x(-n)\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(-n)z^{-n} \\
&= \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m)z^{m}\\
&= \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m){(z^{-1})}^{-m}\\
&= X(z^{-1}) \\
\end{align} \tfrac{1}{r_1}<|z|<\tfrac{1}{r_2}
Complex conjugation x^*[n] X^*(z^*) \begin{align} \mathcal{Z} \{x^*(n)\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x^*(n)z^{-n}\\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left [x(n)(z^*)^{-n} \right ]^*\\
&= \left [ \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(z^*)^{-n}\right ]^*\\
&= X^*(z^*)
\end{align}
വാസ്തവികസംഖ്യ ഭാഗം \operatorname{Re}\{x[n]\} \tfrac{1}{2}\left[X(z)+X^*(z^*) \right]
സാങ്കൽപിക സംഖ്യാ ഭാഗം \operatorname{Im}\{x[n]\} \tfrac{1}{2j}\left[X(z)-X^*(z^*) \right]
അവകലനം nx[n]  -z \frac{dX(z)}{dz} \begin{align} \mathcal{Z}\{nx(n)\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} nx(n)z^{-n}\\
&= z \sum_{n=-\infty}^{\infty} nx(n)z^{-n-1}\\
&= -z \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(-nz^{-n-1})\\
&= -z \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\frac{d}{dz}(z^{-n}) \\
&= -z \frac{dX(z)}{dz}
\end{align}
Convolution x_1[n] * x_2[n] X_1(z)X_2(z) \begin{align} \mathcal{Z}\{x_1(n)*x_2(n)\} &= \mathcal{Z} \left \{\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)x_2(n-l) \right \} \\
                                   &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left [\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)x_2(n-l) \right ]z^{-n}\\
                                   &=\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l) \left [\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_2(n-l)z^{-n} \right ]\\
                                   &= \left [\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)z^{-l} \right ] \! \!\left [\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_2(n)z^{-n} \right ] \\
                                   &=X_1(z)X_2(z)
\end{align} Contains ROC1 ∩ ROC2
പരസ്‌പരബന്ധനിരൂപണം(Cross-Correlation) r_{x_1,x_2}=x_1^*[-n] * x_2[n] R_{x_1,x_2}(z)=X_1^*(\tfrac{1}{z^*})X_2(z) Contains the intersection of ROC of X_1(\tfrac{1}{z^*}) and X_2(z)
സംഭരണം \sum_{k=-\infty}^{n} x[k]  \frac{1}{1-z^{-1} }X(z) \begin{align}
\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{k=-\infty}^{n} x[k] z^{-n}&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(x[n]+\cdots + x[-\infty])z^{-n}\\
        &=X[z] \left (1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right )\\
        &=X[z] \sum_{j=0}^{\infty}z^{-j} \\
        &=X[z] \frac{1}{1-z^{-1}}\end{align}
ഗുണനം x_1[n]x_2[n] \frac{1}{j2\pi}\oint_C X_1(v)X_2(\tfrac{z}{v})v^{-1}\mathrm{d}v -

പാർസിവൽ സിദ്ധാന്തം

\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1[n]x^*_2[n] \quad = \quad \frac{1}{j2\pi}\oint_C X_1(v)X^*_2(\tfrac{1}{v^*})v^{-1}\mathrm{d}v


ആരംഭമൂല്യ സിദ്ധാന്തം x[n]=0 \forall n<0

x[0]=\lim_{z\to \infty}X(z).


അന്തിമമൂല്യ സിദ്ധാന്തം (z-1)X(z) ന്റെ പൊൾസ് |Z| =1 എന്ന വൃത്തതിന്നു അകത്തങ്കിൽ

x[\infty]=\lim_{z\to 1}(z-1)X(z).

ചില സീ പരിവർത്തനജോടികൾ[തിരുത്തുക]

u : n \mapsto u[n] = \begin{cases} 1, & n \ge 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases}
\delta : n \mapsto \delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}
സിഗ്നൽ , x[n] സീ പരിവർത്തനം, X(z) ഏകത്ര കേന്ദ്രീകരണ മേഖല
1 \delta[n] 1 എല്ലായിടവും
2 \delta[n-n_0]  z^{-n_0}  z \neq 0
3 u[n] \,  \frac{1}{1-z^{-1} } |z| > 1
4 e^{-\alpha n} u[n]    1 \over 1-e^{-\alpha  }z^{-1}   |z| >  |e^{-\alpha}| \,
5   -u[-n-1]  \frac{1}{1 - z^{-1}} |z| < 1
6  n u[n]  \frac{z^{-1}}{( 1-z^{-1} )^2} |z| > 1
7  - n u[-n-1] \,  \frac{z^{-1} }{ (1 - z^{-1})^2 }  |z| < 1
8 n^2 u[n]   \frac{ z^{-1} (1 + z^{-1} )}{(1 - z^{-1})^3} |z| > 1\,
9  - n^2 u[-n - 1] \,   \frac{ z^{-1} (1 + z^{-1} )}{(1 - z^{-1})^3} |z| < 1\,
10 n^3 u[n]  \frac{z^{-1} (1 + 4 z^{-1} + z^{-2} )}{(1-z^{-1})^4} |z| > 1\,
11 - n^3 u[-n -1]  \frac{z^{-1} (1 + 4 z^{-1} + z^{-2} )}{(1-z^{-1})^4} |z| < 1\,
12 a^n u[n]  \frac{1}{1-a z^{-1}}  |z| > |a|
13 -a^n u[-n-1]  \frac{1}{1-a z^{-1}} |z| < |a|
14 n a^n u[n]  \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 } |z| > |a|
15 -n a^n u[-n-1]  \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }  |z| < |a|
16 n^2 a^n u[n]  \frac{a z^{-1} (1 + a z^{-1}) }{(1-a z^{-1})^3} |z| > |a|
17 - n^2 a^n u[-n -1]  \frac{a z^{-1} (1 + a z^{-1}) }{(1-a z^{-1})^3} |z| < |a|
18 \cos(\omega_0 n) u[n]  \frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0)}{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2}}  |z| >1
19 \sin(\omega_0 n) u[n]  \frac{ z^{-1} \sin(\omega_0)}{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }  |z| >1
20 a^n \cos(\omega_0 n) u[n] \frac{1-a z^{-1} \cos( \omega_0)}{1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2}} |z|>|a|
21 a^n \sin(\omega_0 n) u[n]  \frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} } |z|>|a|

ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനവുമ്മായുള്ളബന്ധം[തിരുത്തുക]

ലാപ്ലേസ് മണ്‌ഡലതിൽ നിന്നും സീ മണ്‌ഡലതിലെക്ക് മാറാൻ X(s) -ഇൽ

s =\frac{2}{T} \frac{(z-1)}{(z+1)} -യെന്നു ആക്കുക (റ്റുസ്റ്റിൻ പരിവർത്തനം).

സീ മണ്‌ഡലതിൽ നിന്നും ലാപ്ലേസ് മണ്‌ഡലതിലെക്ക് മാറാൻ X(z) -ഇൽ

z =\frac{2+sT}{2-sT} -യെന്നു ആക്കുക

അവലംബം[തിരുത്തുക]

  1. E. R. Kanasewich (1981). Time sequence analysis in geophysics (3rd എഡി.). University of Alberta. pp. 185–186. ഐ.എസ്.ബി.എൻ. 978-0-88864-074-1. 
  2. J. R. Ragazzini and L. A. Zadeh (1952). "The analysis of sampled-data systems". Trans. Am. Inst. Elec. Eng. 71 (II): 225–234. 
  3. Cornelius T. Leondes (1996). Digital control systems implementation and computational techniques. Academic Press. p. 123. ഐ.എസ്.ബി.എൻ. 978-0-12-012779-5. 
"http://ml.wikipedia.org/w/index.php?title=സീ_പരിവർത്തനം&oldid=2020033" എന്ന താളിൽനിന്നു ശേഖരിച്ചത്