ഗ്രോസ്-പിതാവ്സ്കി സമവാക്യം

വിക്കിപീഡിയ, ഒരു സ്വതന്ത്ര വിജ്ഞാനകോശം.

അഭിന്നമായ ബോസോണുകളുടെ ക്വാണ്ടം വ്യവസ്ഥയിലെ ഏറ്റവും താഴ്ന്ന ഊർജ്ജമുള്ള സ്ഥിതിയുടെ (ground state) വേവ് ഫങ്ഷനെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരം നൽകുന്ന സമവാക്യമാണ്‌ ഗ്രോസ്-പിതാവ്സ്കി സമവാക്യം. ആകെ വേവ് ഫങ്ഷനെ കണികകളുടെ വേവ് ഫങ്ഷനുകളുടെ ഉൽപന്നമായി കണക്കാക്കുന്ന ഹാർട്രീ-ഫോക്ക് അപ്രോക്സിമേഷൻ, ബോസോണുകൾ തമ്മിലുള്ള പ്രതിപ്രവർത്തനത്തിന്‌ മാതൃകയായി സ്യൂഡോപോട്ടൻഷ്യൽ പ്രതിപ്രവർത്തനമാതൃക എന്നിവ ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു. ബോസ്-ഐൻസ്റ്റൈൻ കണ്ടൻസേറ്റുകളുടെ വേവ് ഫങ്ഷൻ വിശദീകരിക്കാൻ ഈ സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്. ഗിൻസ്ബർഗ്-ലാൻഡൗ സമവാക്യത്തിന്‌ സമാനമായ ഇതിനെ അരേഖീയ ഷ്രോഡിങർ സമവാക്യം എന്നും വിളിക്കാറുണ്ട്.

കണികകൾ തമ്മിലുള്ള പ്രതിപ്രവർത്തനം മൂലമാണ്‌ ഈ സമവാക്യം അരേഖീയമാകുന്നത്. പ്രതിപ്രവർത്തനമില്ലെങ്കിൽ ഗ്രോസ്-പിതാവ്സ്കി സമവാക്യം ഒരു കണികയുടെ ഷ്രോഡിങർ സമവാക്യത്തിന്‌ സമമാകുന്നതാണ്‌. അരേഖീയമായ Partial differential equation ആണ്‌ ഇത് എന്നതിനാൽ ഇതിന്‌ കൃത്യമായ നിർദ്ധാരണം കണ്ടെത്താൻ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്‌. തോമസ്-ഫെർമി അപ്രോക്സിമേഷൻ, ബൊഗോല്യുബോവ് അപ്രോക്സിമേഷൻ മുതലായവയുപയോഗിച്ചും കം‌പ്യൂട്ടറുകളിൽ സാംഖ്യികമായ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ചുമാണ്‌ സാധരണ നിർദ്ധാരണങ്ങൾ കണ്ടെത്താറ്.

സമവാക്യം[തിരുത്തുക]

കണികകളുടെ എണ്ണത്തിൽ മാറ്റം വരാത്ത ക്വാണ്ടം വ്യവസ്ഥയിലെ സമയനിരപേക്ഷ ഗ്രോസ്-പിതാവ്സ്കി സമവാക്യം (time-independent Gross–Pitaevskii equation) ഇതാണ്‌:

\mu\Psi(\mathbf{r}) = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r})  + g\vert\Psi(\mathbf{r})\vert^2\right)\Psi(\mathbf{r})

ഇവിടെ

സമയാധിഷ്ഠിത ഗ്രോസ്-പിതാവ്സ്കി സമവാക്യം (time-dependent Gross–Pitaevskii equation) ഇതാണ്‌:

i\hbar\frac{\partial\Psi(\mathbf{r})}{\partial t} = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) + g\vert\Psi(\mathbf{r})\vert^2\right)\Psi(\mathbf{r}) .