ഫാക്റ്റോറിയൽ

വിക്കിപീഡിയ, ഒരു സ്വതന്ത്ര വിജ്ഞാനകോശം.
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5,040
8 40,320
9 362,880
10 3,628,800
11 39,916,800
12 479,001,600
13 6,227,020,800
14 87,178,291,200
15 1,307,674,368,000
20 2,432,902,008,176,640,000
25 15,511,210,043,330,985,984,000,000
50 3.04140932... × 1064
70 1.19785717... × 10100
450 1.73336873... × 101,000
1754 1.979262... × 104,930
3,249 6.41233768... × 1010,000
25,206 1.205703438... × 10100,000
47,176 8.4485731495... × 10200,001
100,000 2.8242294079... × 10456,573
1,000,000 8.2639316883... × 105,565,708
9.99... × 10304 1 × 103.045657055180967... × 10307
ആദ്യത്തെ ഏതാനും സംഖ്യകളുടേയും തിരഞ്ഞെടുത്ത വലിയ സംഖ്യകളുടേയും ഫാക്ടോറിയലുകൾ (sequence A000142 in OEIS)

ഋണമല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യയും അതിനേക്കാൾ ചെറിയ എല്ല പൂർണ്ണസംഖ്യകളും ചേർത്തുള്ള അകെ ഗുണനഫലമാണ് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ ഫാക്ടോറിയൽ (Factorial). ഗണിതത്തിൽ n എന്ന സംഖ്യയുടെ ഫാക്ടോറിയലിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് n! എന്നാണ്. ഉദാഹരണങ്ങൾ:

5 ! = 1  \times  2  \times  3  \times  4  \times  5 = 120  \
6 ! = 1  \times  2  \times  3  \times  4  \times  5  \times  6 = 720. \

നിർവ്വചനം[തിരുത്തുക]

ഫാക്ടോറിയലിന്റെ ഔപചാരിക നിർവ്വചനം

 n!=\prod_{k=1}^n k \qquad \forall n \in \mathbb{N}\!

അല്ലെങ്കിൽ തുടർച്ചയായുള്ള നിർവ്വചനം

 n! = \begin{cases}
1 & \text{ if } n = 0 \\
n (n-1)! & \text{ if } n > 0 \\
\end{cases}
\qquad \forall n \in \mathbb{N}.

രണ്ട് നിർവ്വചനങ്ങളിലും ഇതുകൂടി ഉൾപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു

0! = 1 \

ശൂന്യമായ സംഖ്യകളുടെ തുക 1 ആണെന്ന വസ്തുത ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ഫാക്ടോറിയലിന് പ്രയോജനപ്രദമാണ് ഈ വസ്തുത, കാരണം:

  • (n + 1)! = n! \times (n + 1) എന്ന ആവർത്തന ബന്ധം (recurrence relation) n > 0 എന്നതിന് (പൂജ്യത്തിനു മുകളിലുള്ള എല്ലാ സംഖ്യകൾക്കും) സാധ്യമാകുന്നു;
  • അനന്ത ബഹുപദങ്ങൾക്കുള്ള (polynomials) വ്യഞ്ജകങ്ങളുടെ (expressions) ലളിതമായ രൂപവത്കരണത്തിനി ഇത് സഹായിക്കുന്നു, ഉദാ: e^x = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{x^n}{n!};
  • കോമ്പിനേറ്റോറിക്സിലെ പല സമകങ്ങളേയും (identities) പൂജ്യം വലിപ്പങ്ങളിലും ഇത് സാധൂകരിക്കുന്നു. ഒരു ശൂന്യഗണത്തിൽ നിന്ന് 0 അംഗങ്ങളെ എടുക്കാവുന്ന വഴി നോക്കുക: \binom{0}{0} = {0!\over 0!0!} = 1.

അവലംബം[തിരുത്തുക]

"http://ml.wikipedia.org/w/index.php?title=ഫാക്റ്റോറിയൽ&oldid=1698321" എന്ന താളിൽനിന്നു ശേഖരിച്ചത്