"പരവലയം" എന്ന താളിന്റെ പതിപ്പുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം
(ചെ.)No edit summary |
(ചെ.)No edit summary |
||
വരി 104: | വരി 104: | ||
മൂന്നാമതായി GP എന്ന രേഖ അതിനോടുതന്നെ സമമായതിനാൽ |
മൂന്നാമതായി GP എന്ന രേഖ അതിനോടുതന്നെ സമമായതിനാൽ |
||
:<math>\Delta FGP \cong \Delta QGP</math> |
:<math>\Delta FGP \cong \Delta QGP</math> |
||
ഇതിൽനിന്നും |
|||
<math> \angle FPG \cong \angle GPQ </math>. |
|||
എന്ന്കിട്ടുന്നു.''QP'' എന്ന രേഖയെ ''P'' യില് നിന്നും ''T''എന്ന ബിന്ദുവിലേക്കും ''GP''എന്ന രേഖയെ ''P'' ല് നിന്നും''R''എന്ന ബിന്ദുവിലേക്കും നീട്ടിവരക്കാൻ സാധിക്കും.അപ്പോൾ |
|||
<math> \angle RPT </math> and <math> \angle GPQ </math> ലംബങ്ങളായിരിക്കും.ആയതിനാൽ ഇവ സർവസമങ്ങളും ആയിരിക്കും.എന്നാൽ <math> \angle GPQ </math> ,<math> \angle FPG </math>സമങ്ങളായതിനാൽ <math> \angle RPT </math> , <math> \angle FPG </math>ഇവയും സമങ്ങളായിരിക്കും.പരാബോളയിലെ ''P''എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പർശകമാണ് |
|||
''RG'' എന്ന രേഖ. |
|||
==അവലംബം== |
==അവലംബം== |
||
Encarta Reference Library Premium 2005 |
Encarta Reference Library Premium 2005 |
16:16, 13 നവംബർ 2008-നു നിലവിലുണ്ടായിരുന്ന രൂപം
ദ്വിമാനതലത്തില് രചിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരുതരം വക്രമാണ് പരാബോള.ഒരു നേര്വൃത്തസ്തൂപികയെ അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഒരു പാര്ശ്വരേഖയ്ക് സമാന്തരമായി ഒരു സമതലം ഛേദിക്കുമ്പോള് ലഭിക്കുന്ന ദ്വിമാനവക്രരൂപമാണ് പരാബോള. വൃത്തസ്തൂപികയുടെ ശീര്ഷവും (Vertex) അതിന്റ ആധാരവൃത്തത്തിലെ ഏതെങ്കിലും ഒരു ബിന്ദുവും ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഋജുരേഖയാണ് പാര്ശ്വരേഖ എന്നു പറയുന്നത്.
ഈ വക്രത്തിലുള്ള ഓരോ ബിന്ദുവും ആ വക്രം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന തലത്തിലെ ഒരു നിശ്ചിതനേര്രേഖയിനിന്നും, രേഖയിലല്ലാത്ത ഒരു നിശ്ചിതബിന്ദുവില് നിന്നും തുല്യഅകലത്തിലായിരിക്കും. ഈ ബിന്ദുവാണ് പരാബോളയുടെ നാഭി അഥവാ ഫോക്കസ്.
ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലും ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിലും പരാബോളക്ക് വളരെ പ്രാധാന്യമുണ്ട്.
വിശ്ലേഷണജ്യാമിതി സമവാക്യങ്ങള്
കാർടീഷ്യൻ നിർദ്ദേശാങ്കവ്യവസ്ഥയിൽ അക്ഷത്തിനു സമാന്തരമായതും ശീര്ഷം ഉം ഫോകസ് ഉം നിയതരേഖ ഉം ദൂരവും ഉള്ള പരാബോളയുടെ സമവാക്യം
- ആണ്.
മറ്റൊരു തരത്തിൽ x-അക്ഷത്തിനു സമാന്തരമായ പരാബോളയുടെ സമവാക്യം
- ഇപ്രകാരമാണ്
പൊതുസമവാക്യം
- ഇപ്രകാരമാണ്.
ഇതര ജ്യാമിതീയ നിർവചനങ്ങൾ
ഉത്കേന്ദ്രത(eccentricity) 1 ആയ കോണികമാണ് പരാബോള.ദീർഘവൃത്തങ്ങളുടെ (ellipse) ശ്രേണിയുടെ സീമ എന്ന നിലയിൽ പരാബോളയെ പരിഗണിക്കാം.ഈ ദീർഘവൃത്തങ്ങളുടെ ഒരു ഫോകസ് ഉറപ്പിച്ചും അടുത്ത ഫോകസ് ഒരേ ദിശയിൽ തന്നെ അനിയന്ത്രിതമായി നീങ്ങാനും അനുവദിക്കുന്നു.ഇത്തരത്തിൽ പരാബോളയെ ഒരു ഫോകസ് അനന്തതയിൽ കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ദീർഘവൃത്തമായി പരിഗണിക്കാം.
പരബോളക്ക് പ്രതിഫലന പ്രതിസമതയുള്ള ഒരു അക്ഷം ഉണ്ട്.ഈ അക്ഷം പരാബോളയുടെ ഫോകസിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു.നിയതരേഖക്ക് ഇത് ലംബവും ആണ്. ഈ അക്ഷത്തിന്റേയും പരാബോളയുടേയും സംഗമബിന്ദുവാണ് പരാബോളയുടെ ശീർഷം.
സമവാക്യങ്ങൾ
ശീർഷം (h, k)ഉം ഫോകസും ശീർഷവും തമ്മിലുള്ള ദൂരം pഉം ആയ പരാബോളയുടെ സമവാക്യങ്ങളാണ് താഴേ പ്രസ്താവിക്കുന്നത്.
കാർടീഷ്യൻ
ലംബഅക്ഷത്തിലുള്ള പ്രതിസമത
-
- .
തിരശ്ചീന അക്ഷത്തിലുള്ള പ്രതിസമത
-
- .
പൊതുവായ പരാബോള
പരാബോളയുടെ പൊതുരൂപം
- ആണ്
കോണികത്തിന്റെ പൊതുസമവാക്യത്തിൽ നിന്നും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന പരാബോളയുടെ സമവാക്യം ആണ്.
നാഭിലംബം,അർദ്ധനാഭിലംബം,ധ്രുവീയ നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ
ധ്രുവീയ നിർദ്ദേശാങ്കത്തിൽ(polar co-ordinates) ഫോകസ് മൂലബിന്ദുവും നിയതരേഖ അക്ഷത്തിനു സമാന്തരവും ആയ പരാബോളയുടെ സമവാക്യം
- ആണ്.
l അർദ്ധനാഭികേന്ദ്രം(semi-latus rectum) ,അതായത് ഫോകസിൽ നിന്നും പരാബോളയിലേക്കുള്ള ദൂരം ആണ്.നാഭികേന്ദ്രം(latus rectum) ഫോകസിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന അക്ഷത്തിനു ലംബമായ ഞാൺ ആണ്.ഇതിന്റെ നീളം 4l ആണ്.
ഫോകസിന്റെ അനുമാനം
പ്രതിസമത അക്ഷം y-അക്ഷത്തിനു സമാന്തരമായതും ശീർഷം (0,0) ആയതും ആയ ഒരു പരാബോളയുടെ സമവാക്യം
ആണ്.(0,f)എന്ന ബിന്ദു പരാബോളയുടെ ഫോകസ് ആണ്.പരാബോളയിലുള്ള ഏതൊരു ബിന്ദുവും ഫോകസിൽ നിന്നും പ്രതിസമതാ അക്ഷത്തിനു ലംബമായ ഒരു രേഖയിൽ നിന്നും(ലീനിയാ നിയതരേഖ)തുല്യ അകലത്തിലായിരിക്കും.ശീർഷം ഇത്തരത്തിലുള്ള ഒരു ബിന്ദുവായതിനാൽ ലീനിയ നിയതരേഖ എന്ന ബിന്ദുവിലൂടേയും കടന്നുപോകുന്നു.അതായത് ഏതൊരു ബിന്ദു P=(x,y)ഉം (0,f)ൽ നിന്നും (x,-f)ൽ നിന്നും തുല്യ അകലത്തിലായിരിക്കും.ഇത്തരമൊരു സവിശേഷതയുള്ള ഫോകസിന്റെ വിലയാണ് കണ്ടുപിടിക്കുന്നത്.
Fഎന്നത് ഫോകസിനേയും Q,(x,-f)എന്ന ബിന്ദുവിനേയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു. FP,QP എന്നിവയുടെ നീളം തുല്യമാണ്.
ഇരുവശത്തിന്റേയും വര്ഗ്ഗം കണ്ടാല്
ഇരുവശത്തേയും പദങ്ങളെ വെട്ടിക്കളഞ്ഞാല്
ഇരുവശത്തുനിന്നും x വെട്ടിക്കളഞ്ഞാല്( xപൂജ്യമാവില്ല)
p=f എന്ന് കരുതിയാല് പരാബോളയുടെ സമവാക്യം
- എന്ന് കിട്ടുന്നു.
മൂലബിന്ദു കേന്ദ്രമായ ഒരു പരാബോളയുടെ സമവാക്യമാണ് മുകളിൽ പ്രതിപാദിച്ചിരിക്കുന്നത്.പരാബോളയുടെ പൊതുരൂപം : ആണ്.ഈ പരാബോളയുടെ ഫോകസ്
- ആണ്.
ഇതിനെ മറ്റൊരു രീതിയില്
- ഇങ്ങനേയും എഴുതാം
നിയതരേഖയെ
എന്ന സമവാക്യം കൊണ്ടും സൂചിപ്പിക്കം.ഈ സമവാക്യത്തെ തന്നെ മറ്റൊരു രീതിയില്
- ഇങ്ങനേയും എഴുതാം.
സ്പർശകത്തിന്റെ പ്രതിഫലനസ്വഭാവം
പരാബോളയുടെ സ്പർശകത്തിന്റെ ചെരിവ് ആണ്.ഈ രേഖ y-അക്ഷത്തിൽ (0,-y) = (0, - a x²) എന്ന ബിന്ദുവിലും x-അക്ഷത്തിൽ (x/2,0) എന്ന ബിന്ദുവിലും സംഗമിക്കുന്നു.ഈ ബിന്ദുവിനെ G എന്ന് വിളിക്കുന്നു.Gഎന്ന ബിന്ദു F ന്റേയുംQന്റേയും മദ്ധ്യബിന്ദു ആണ്.
- :
G,FQന്റെ മദ്ധ്യബിന്ദു ആണെന്നതിനാൽ
കൂടാതെ P, Fൽ നിന്നും Qൽ നിന്നും തുല്യ അകലത്തിലാണ്.
മൂന്നാമതായി GP എന്ന രേഖ അതിനോടുതന്നെ സമമായതിനാൽ
ഇതിൽനിന്നും . എന്ന്കിട്ടുന്നു.QP എന്ന രേഖയെ P യില് നിന്നും Tഎന്ന ബിന്ദുവിലേക്കും GPഎന്ന രേഖയെ P ല് നിന്നുംRഎന്ന ബിന്ദുവിലേക്കും നീട്ടിവരക്കാൻ സാധിക്കും.അപ്പോൾ and ലംബങ്ങളായിരിക്കും.ആയതിനാൽ ഇവ സർവസമങ്ങളും ആയിരിക്കും.എന്നാൽ ,സമങ്ങളായതിനാൽ , ഇവയും സമങ്ങളായിരിക്കും.പരാബോളയിലെ Pഎന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പർശകമാണ് RG എന്ന രേഖ.
അവലംബം
Encarta Reference Library Premium 2005