"ഭാസ്കരാചാര്യൻ" എന്ന താളിന്റെ പതിപ്പുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം
(ചെ.) അക്ഷരത്തിരുത്തലുകള്‍ |
|||
| വരി 1: | വരി 1: | ||
[[ഭാരതം|ഭാരതീയ]] [[ഗണിതചിന്തകര്‍|ഗണിതചിന്തകരില്‍]] പ്രമുഖനാണ്‌ ഭാസ്കരാചാര്യന്‍ |
[[ഭാരതം|ഭാരതീയ]] [[ഗണിതചിന്തകര്‍|ഗണിതചിന്തകരില്‍]] പ്രമുഖനാണ്‌ ഭാസ്കരാചാര്യന്‍. പ്രശസ്തനായ ഒരു [[ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞര്‍|ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞനും]] കൂടി ആണദ്ദേഹം. ഗണിത ജ്യോതിശാസ്ത്ര പഠനങ്ങളില്‍ ഉപമാസമ്പുഷ്ടങ്ങളായ കവിതാശകലങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്തതുവഴി പുതിയൊരു പാത വെട്ടിത്തെളിച്ച മഹാനാണദ്ദേഹം. [[കാളിദാസന്‍|കാളിദാസന്റെ]] കവിത്വമുള്ള ശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ എന്നാണ്‌ ഭാസ്കരാചാര്യന്‍ അറിയപ്പെടുന്നത്‌. |
||
==ജീവിതരേഖ== |
==ജീവിതരേഖ== |
||
സ്വന്തം പുസ്തകമായ [[സിദ്ധാന്തശിരോമണി]]യില്‍ എഴുതിയിട്ടുള്ള വിവരങ്ങളേ അദ്ദേഹത്തിനേ കുറിച്ചറിയുകയുള്ളു. [[ക്രി.ശേ 1114]]-ല്‍ ആണ്‌ ജനിച്ചതെന്ന് സിദ്ധാന്തശിരോമണിയില്‍ നിന്ന് മനസ്സിലാക്കാം. അച്ഛന്‍ മഹേശ്വരന്‍ ഒരു ജ്യോതിശാസ്ത്രപണ്ഡിതനായിരുന്നുവെന്നും, [[സഹ്യപര്‍വതം|സഹ്യപര്‍വതത്തിന്റെ]] താഴ്വരയിലുള്ള 'വിജ്ജഡവിടം' ആണ്‌ തന്റെ സ്വദേശം എന്നും അദ്ദേഹം സിദ്ധാന്തശിരോമണിയിലെ ഗോളാദ്ധ്യായത്തില്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നു. വിജ്ജഡവിടം എവിടെയാണന്നതു സംബന്ധിച്ച്‌ ഇന്നും തര്‍ക്കം നിലനില്‍ക്കുന്നുവെങ്കിലും, [[മദ്ധ്യകേരളം]] മുതല്‍ [[മംഗലാപുരം]] വരെയുള്ള പ്രദേശത്തിനിടക്കെവിടെയോ ആണെന്നാണ്‌ പൊതുവേ കരുതുന്നത്‌. ഭാസ്കരാചാര്യന്റെ കൃതികള്‍ക്ക്‌ കേരളത്തിലുണ്ടായിരുന്ന വമ്പിച്ച പ്രചാരവും ഈ വിശ്വാസത്തിനു ശക്തി പകരുന്നു. '[[ഗാണ്ഡില്യ ഗോത്രം|ഗാണ്ഡില്യ ഗോത്രക്കാരനാണ്‌]]' താനെന്നും അദ്ദേഹം പ്രസ്താവിച്ചിരിക്കുന്നു. |
|||
==കൃതികള്‍== |
==കൃതികള്‍== |
||
[[മഹാഭാസ്കരീയം]], [[ലഘുഭാസ്കരീയം]], [[ആര്യഭടീയഭാഷ്യം]], സിദ്ധാന്തശിരോമണി, [[കരണകുതൂഹലം]] തുടങ്ങിയവയാണ്‌ ഭാസ്കരാചാര്യന്റെ പ്രധാന കൃതികള്‍. |
[[മഹാഭാസ്കരീയം]], [[ലഘുഭാസ്കരീയം]], [[ആര്യഭടീയഭാഷ്യം]], സിദ്ധാന്തശിരോമണി, [[കരണകുതൂഹലം]] തുടങ്ങിയവയാണ്‌ ഭാസ്കരാചാര്യന്റെ പ്രധാന കൃതികള്‍. |
||
| വരി 8: | വരി 8: | ||
മഹാഭാസ്കരീയം [[ആര്യഭടന്‍|ആര്യഭടന്റെ]] [[ആര്യഭടീയം|ആര്യഭടീയത്തിലെ]] മൂന്നാദ്ധ്യായങ്ങളുടെ വിസ്തരിച്ചുള്ള വ്യാഖ്യാനമാണ്‌. ലഘുഭാസ്കരീയമാകട്ടെ മഹാഭാസ്കരീയത്തിന്റെ സംക്ഷിപ്തരൂപവും. വ്യാഖ്യാനങ്ങളാണെങ്കിലും സമ്പൂര്‍ണ്ണ കൃതികളുടെ നിലയും വിലയും ഈ പുസ്തകങ്ങള്‍ക്കുണ്ട്‌. വളരെ ലളിതമാണ്‌ പ്രതിപാദനരീതി. [[ഖഗോള ശാസ്ത്രം|ഖഗോളശാസ്ത്രത്തില്‍]] ആര്യഭടന്റെ ആശയങ്ങളെ വികസിപ്പിക്കുകയാണിവയില്‍ ചെയ്തിരിക്കുന്നത്‌. ആര്യഭടീയഭാഷ്യമാകട്ടെ ആര്യഭടീയത്തിന്റെ സമ്പൂര്‍ണ്ണ വ്യാഖ്യാനവും. |
മഹാഭാസ്കരീയം [[ആര്യഭടന്‍|ആര്യഭടന്റെ]] [[ആര്യഭടീയം|ആര്യഭടീയത്തിലെ]] മൂന്നാദ്ധ്യായങ്ങളുടെ വിസ്തരിച്ചുള്ള വ്യാഖ്യാനമാണ്‌. ലഘുഭാസ്കരീയമാകട്ടെ മഹാഭാസ്കരീയത്തിന്റെ സംക്ഷിപ്തരൂപവും. വ്യാഖ്യാനങ്ങളാണെങ്കിലും സമ്പൂര്‍ണ്ണ കൃതികളുടെ നിലയും വിലയും ഈ പുസ്തകങ്ങള്‍ക്കുണ്ട്‌. വളരെ ലളിതമാണ്‌ പ്രതിപാദനരീതി. [[ഖഗോള ശാസ്ത്രം|ഖഗോളശാസ്ത്രത്തില്‍]] ആര്യഭടന്റെ ആശയങ്ങളെ വികസിപ്പിക്കുകയാണിവയില്‍ ചെയ്തിരിക്കുന്നത്‌. ആര്യഭടീയഭാഷ്യമാകട്ടെ ആര്യഭടീയത്തിന്റെ സമ്പൂര്‍ണ്ണ വ്യാഖ്യാനവും. |
||
കരണകുതൂഹലം ഗ്രഹചലനങ്ങളെ ആണ്‌ പ്രധാനമായും പഠിക്കുന്നത്‌. തന്റെ അറുപത്തൊമ്പതാം വയസിലാണ്‌ കരണകുതൂഹലം രചിച്ചിരിക്കുന്നത്‌ എന്ന് അതില്‍ രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. |
|||
സിദ്ധാന്തശിരോമണിയിലെ ആദ്യഖണ്ഡങ്ങളായ [[ലീലാവതി]]യിലും [[ബീജഗണിതം|ബീജഗണിതത്തിലും]] അന്നുവരെ വികസിച്ചിട്ടുള്ള ഗണിതവിജ്ഞാനം മുഴുവന്‍ ക്രോഡീകരിച്ചിരിക്കുന്നതായി കാണാം. മറ്റൊരദ്ധ്യായമായ ഗോളാദ്ധ്യായത്തില്‍ ഗോളതലക്ഷേത്രഗണിതവും ഗ്രഹഗണിതസിദ്ധാന്തങ്ങളും പഠനവിധേയമാക്കുന്നു. ഗോളാദ്ധ്യായത്തിലെ പലപഠനങ്ങള്‍ക്കും [[ലിയോനാര്‍ഡോ ഡാവിഞ്ചി]]യുടെ കണ്ടെത്തലുകളുമായി സാദൃശ്യമുണ്ട്‌. |
സിദ്ധാന്തശിരോമണിയിലെ ആദ്യഖണ്ഡങ്ങളായ [[ലീലാവതി]]യിലും [[ബീജഗണിതം|ബീജഗണിതത്തിലും]] അന്നുവരെ വികസിച്ചിട്ടുള്ള ഗണിതവിജ്ഞാനം മുഴുവന്‍ ക്രോഡീകരിച്ചിരിക്കുന്നതായി കാണാം. മറ്റൊരദ്ധ്യായമായ ഗോളാദ്ധ്യായത്തില്‍ ഗോളതലക്ഷേത്രഗണിതവും ഗ്രഹഗണിതസിദ്ധാന്തങ്ങളും പഠനവിധേയമാക്കുന്നു. ഗോളാദ്ധ്യായത്തിലെ പലപഠനങ്ങള്‍ക്കും [[ലിയോനാര്‍ഡോ ഡാവിഞ്ചി]]യുടെ കണ്ടെത്തലുകളുമായി സാദൃശ്യമുണ്ട്‌. |
||
| വരി 14: | വരി 14: | ||
ഭാസ്കരാചാര്യന്റെ ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായ നിരീക്ഷണങ്ങള്‍ ലീലാവതിയിലാണ്‌. ലീലാവതിയില്‍ എട്ടുതരം ഗണിതക്രിയകളെ പരാമര്‍ശിക്കുന്നു. പരികര്‍മ്മാഷ്ടകം എന്നാണ്‌ ആ ഭാഗത്തിന്റെ പേര്‌. [[അക്ബര്‍|അക്ബറുടെ]] ഭരണകാലത്ത്‌ ലീലാവതി [[പേര്‍ഷ്യന്‍ ഭാഷ]]യിലേക്ക്‌ വിവര്‍ത്തനം ചെയ്തിട്ടുണ്ട്‌. ലീലാവതി എന്ന സുന്ദരിക്ക്‌ ഗണിതവിജ്ഞാനം പകര്‍ന്നു കൊടുക്കുന്നു എന്ന മട്ടിലാണ്‌ ലേഖനരീതി. ലീലാവതിയുടെ അംഗലാവണ്യം പോലും ഗണിതരൂപത്തില്‍ വര്‍ണ്ണിക്കാന്‍ ഭാസ്കരാചാര്യന്‍ ശ്രദ്ധിച്ചിരുന്നു. ശാസ്ത്രമൂല്യങ്ങള്‍ക്കു പുറമേ കലാമൂല്യവും തുളുമ്പുന്നവയാണ്‌ ലീലാവതിയിലെ ശ്ലോകങ്ങളോരോന്നും. ഗഹനങ്ങളായ ശാസ്ത്രസത്യങ്ങളെ കാവ്യാത്മകമായി ചിത്രീകരിച്ച്‌ ലളിതമാക്കാനാണ്‌ ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ ശ്രമിച്ചത്‌. |
ഭാസ്കരാചാര്യന്റെ ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായ നിരീക്ഷണങ്ങള്‍ ലീലാവതിയിലാണ്‌. ലീലാവതിയില്‍ എട്ടുതരം ഗണിതക്രിയകളെ പരാമര്‍ശിക്കുന്നു. പരികര്‍മ്മാഷ്ടകം എന്നാണ്‌ ആ ഭാഗത്തിന്റെ പേര്‌. [[അക്ബര്‍|അക്ബറുടെ]] ഭരണകാലത്ത്‌ ലീലാവതി [[പേര്‍ഷ്യന്‍ ഭാഷ]]യിലേക്ക്‌ വിവര്‍ത്തനം ചെയ്തിട്ടുണ്ട്‌. ലീലാവതി എന്ന സുന്ദരിക്ക്‌ ഗണിതവിജ്ഞാനം പകര്‍ന്നു കൊടുക്കുന്നു എന്ന മട്ടിലാണ്‌ ലേഖനരീതി. ലീലാവതിയുടെ അംഗലാവണ്യം പോലും ഗണിതരൂപത്തില്‍ വര്‍ണ്ണിക്കാന്‍ ഭാസ്കരാചാര്യന്‍ ശ്രദ്ധിച്ചിരുന്നു. ശാസ്ത്രമൂല്യങ്ങള്‍ക്കു പുറമേ കലാമൂല്യവും തുളുമ്പുന്നവയാണ്‌ ലീലാവതിയിലെ ശ്ലോകങ്ങളോരോന്നും. ഗഹനങ്ങളായ ശാസ്ത്രസത്യങ്ങളെ കാവ്യാത്മകമായി ചിത്രീകരിച്ച്‌ ലളിതമാക്കാനാണ്‌ ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ ശ്രമിച്ചത്‌. |
||
ലീലാവതിയിലെ ശ്ലോകങ്ങളുടെ ശക്തി മനസ്സിലാക്കിയ പാശ്ചാത്യര്‍ ഭാരതത്തിന്റെ [[യൂക്ലിഡ്‌]] എന്ന് ഭാസ്കരാചാര്യനെ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നുവെങ്കിലും, ഭാസ്കരാചാര്യന്റെ കലാബോധം |
ലീലാവതിയിലെ ശ്ലോകങ്ങളുടെ ശക്തി മനസ്സിലാക്കിയ പാശ്ചാത്യര്‍ ഭാരതത്തിന്റെ [[യൂക്ലിഡ്‌]] എന്ന് ഭാസ്കരാചാര്യനെ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നുവെങ്കിലും, ഭാസ്കരാചാര്യന്റെ കലാബോധം യൂക്ലിഡിനില്ലെന്നാണ്‌ ഭാരതീയരുടെ വാദം. |
||
ലീലാവതിയിലെ ആശയങ്ങളുടെ ഉദാഹരണം: ഒരു പൊയ്കയില്‍ കുറെ അരയന്നങ്ങളുണ്ട്‌. അവയുടെ വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തിന്റെ പകുതിയുടെ ഏഴുമടങ്ങ്‌ തീരത്ത്‌ കുണുങ്ങി നടക്കുന്നു. രണ്ട്‌ അരയന്നങ്ങള്‍ പ്രണയബദ്ധരായി സമീപത്തുണ്ട്‌, ആകെ എത്ര അരയന്നങ്ങളുണ്ട്‌? [[ദ്വിമാന സമീകരണം]] നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യാനുള്ള പ്രശ്നമാണിത്‌. |
ലീലാവതിയിലെ ആശയങ്ങളുടെ ഉദാഹരണം: ഒരു പൊയ്കയില്‍ കുറെ അരയന്നങ്ങളുണ്ട്‌. അവയുടെ വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തിന്റെ പകുതിയുടെ ഏഴുമടങ്ങ്‌ തീരത്ത്‌ കുണുങ്ങി നടക്കുന്നു. രണ്ട്‌ അരയന്നങ്ങള്‍ പ്രണയബദ്ധരായി സമീപത്തുണ്ട്‌, ആകെ എത്ര അരയന്നങ്ങളുണ്ട്‌? [[ദ്വിമാന സമീകരണം]] നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യാനുള്ള പ്രശ്നമാണിത്‌. |
||
06:55, 20 ജൂലൈ 2006-നു നിലവിലുണ്ടായിരുന്ന രൂപം
ഭാരതീയ ഗണിതചിന്തകരില്‍ പ്രമുഖനാണ്‌ ഭാസ്കരാചാര്യന്‍. പ്രശസ്തനായ ഒരു ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞനും കൂടി ആണദ്ദേഹം. ഗണിത ജ്യോതിശാസ്ത്ര പഠനങ്ങളില്‍ ഉപമാസമ്പുഷ്ടങ്ങളായ കവിതാശകലങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്തതുവഴി പുതിയൊരു പാത വെട്ടിത്തെളിച്ച മഹാനാണദ്ദേഹം. കാളിദാസന്റെ കവിത്വമുള്ള ശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ എന്നാണ്‌ ഭാസ്കരാചാര്യന്‍ അറിയപ്പെടുന്നത്‌.
ജീവിതരേഖ
സ്വന്തം പുസ്തകമായ സിദ്ധാന്തശിരോമണിയില്‍ എഴുതിയിട്ടുള്ള വിവരങ്ങളേ അദ്ദേഹത്തിനേ കുറിച്ചറിയുകയുള്ളു. ക്രി.ശേ 1114-ല്‍ ആണ്‌ ജനിച്ചതെന്ന് സിദ്ധാന്തശിരോമണിയില്‍ നിന്ന് മനസ്സിലാക്കാം. അച്ഛന്‍ മഹേശ്വരന്‍ ഒരു ജ്യോതിശാസ്ത്രപണ്ഡിതനായിരുന്നുവെന്നും, സഹ്യപര്‍വതത്തിന്റെ താഴ്വരയിലുള്ള 'വിജ്ജഡവിടം' ആണ്‌ തന്റെ സ്വദേശം എന്നും അദ്ദേഹം സിദ്ധാന്തശിരോമണിയിലെ ഗോളാദ്ധ്യായത്തില്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നു. വിജ്ജഡവിടം എവിടെയാണന്നതു സംബന്ധിച്ച്‌ ഇന്നും തര്‍ക്കം നിലനില്‍ക്കുന്നുവെങ്കിലും, മദ്ധ്യകേരളം മുതല്‍ മംഗലാപുരം വരെയുള്ള പ്രദേശത്തിനിടക്കെവിടെയോ ആണെന്നാണ്‌ പൊതുവേ കരുതുന്നത്‌. ഭാസ്കരാചാര്യന്റെ കൃതികള്‍ക്ക്‌ കേരളത്തിലുണ്ടായിരുന്ന വമ്പിച്ച പ്രചാരവും ഈ വിശ്വാസത്തിനു ശക്തി പകരുന്നു. 'ഗാണ്ഡില്യ ഗോത്രക്കാരനാണ്‌' താനെന്നും അദ്ദേഹം പ്രസ്താവിച്ചിരിക്കുന്നു.
കൃതികള്‍
മഹാഭാസ്കരീയം, ലഘുഭാസ്കരീയം, ആര്യഭടീയഭാഷ്യം, സിദ്ധാന്തശിരോമണി, കരണകുതൂഹലം തുടങ്ങിയവയാണ്‌ ഭാസ്കരാചാര്യന്റെ പ്രധാന കൃതികള്‍.
മഹാഭാസ്കരീയം ആര്യഭടന്റെ ആര്യഭടീയത്തിലെ മൂന്നാദ്ധ്യായങ്ങളുടെ വിസ്തരിച്ചുള്ള വ്യാഖ്യാനമാണ്‌. ലഘുഭാസ്കരീയമാകട്ടെ മഹാഭാസ്കരീയത്തിന്റെ സംക്ഷിപ്തരൂപവും. വ്യാഖ്യാനങ്ങളാണെങ്കിലും സമ്പൂര്‍ണ്ണ കൃതികളുടെ നിലയും വിലയും ഈ പുസ്തകങ്ങള്‍ക്കുണ്ട്‌. വളരെ ലളിതമാണ്‌ പ്രതിപാദനരീതി. ഖഗോളശാസ്ത്രത്തില്‍ ആര്യഭടന്റെ ആശയങ്ങളെ വികസിപ്പിക്കുകയാണിവയില്‍ ചെയ്തിരിക്കുന്നത്‌. ആര്യഭടീയഭാഷ്യമാകട്ടെ ആര്യഭടീയത്തിന്റെ സമ്പൂര്‍ണ്ണ വ്യാഖ്യാനവും.
കരണകുതൂഹലം ഗ്രഹചലനങ്ങളെ ആണ്‌ പ്രധാനമായും പഠിക്കുന്നത്‌. തന്റെ അറുപത്തൊമ്പതാം വയസിലാണ്‌ കരണകുതൂഹലം രചിച്ചിരിക്കുന്നത്‌ എന്ന് അതില്‍ രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.
സിദ്ധാന്തശിരോമണിയിലെ ആദ്യഖണ്ഡങ്ങളായ ലീലാവതിയിലും ബീജഗണിതത്തിലും അന്നുവരെ വികസിച്ചിട്ടുള്ള ഗണിതവിജ്ഞാനം മുഴുവന്‍ ക്രോഡീകരിച്ചിരിക്കുന്നതായി കാണാം. മറ്റൊരദ്ധ്യായമായ ഗോളാദ്ധ്യായത്തില്‍ ഗോളതലക്ഷേത്രഗണിതവും ഗ്രഹഗണിതസിദ്ധാന്തങ്ങളും പഠനവിധേയമാക്കുന്നു. ഗോളാദ്ധ്യായത്തിലെ പലപഠനങ്ങള്‍ക്കും ലിയോനാര്‍ഡോ ഡാവിഞ്ചിയുടെ കണ്ടെത്തലുകളുമായി സാദൃശ്യമുണ്ട്‌.
ലീലാവതി
ഭാസ്കരാചാര്യന്റെ ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായ നിരീക്ഷണങ്ങള്‍ ലീലാവതിയിലാണ്‌. ലീലാവതിയില്‍ എട്ടുതരം ഗണിതക്രിയകളെ പരാമര്‍ശിക്കുന്നു. പരികര്‍മ്മാഷ്ടകം എന്നാണ്‌ ആ ഭാഗത്തിന്റെ പേര്‌. അക്ബറുടെ ഭരണകാലത്ത്‌ ലീലാവതി പേര്‍ഷ്യന്‍ ഭാഷയിലേക്ക്‌ വിവര്‍ത്തനം ചെയ്തിട്ടുണ്ട്‌. ലീലാവതി എന്ന സുന്ദരിക്ക്‌ ഗണിതവിജ്ഞാനം പകര്‍ന്നു കൊടുക്കുന്നു എന്ന മട്ടിലാണ്‌ ലേഖനരീതി. ലീലാവതിയുടെ അംഗലാവണ്യം പോലും ഗണിതരൂപത്തില്‍ വര്‍ണ്ണിക്കാന്‍ ഭാസ്കരാചാര്യന്‍ ശ്രദ്ധിച്ചിരുന്നു. ശാസ്ത്രമൂല്യങ്ങള്‍ക്കു പുറമേ കലാമൂല്യവും തുളുമ്പുന്നവയാണ്‌ ലീലാവതിയിലെ ശ്ലോകങ്ങളോരോന്നും. ഗഹനങ്ങളായ ശാസ്ത്രസത്യങ്ങളെ കാവ്യാത്മകമായി ചിത്രീകരിച്ച്‌ ലളിതമാക്കാനാണ്‌ ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ ശ്രമിച്ചത്‌.
ലീലാവതിയിലെ ശ്ലോകങ്ങളുടെ ശക്തി മനസ്സിലാക്കിയ പാശ്ചാത്യര്‍ ഭാരതത്തിന്റെ യൂക്ലിഡ്‌ എന്ന് ഭാസ്കരാചാര്യനെ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നുവെങ്കിലും, ഭാസ്കരാചാര്യന്റെ കലാബോധം യൂക്ലിഡിനില്ലെന്നാണ്‌ ഭാരതീയരുടെ വാദം.
ലീലാവതിയിലെ ആശയങ്ങളുടെ ഉദാഹരണം: ഒരു പൊയ്കയില്‍ കുറെ അരയന്നങ്ങളുണ്ട്‌. അവയുടെ വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തിന്റെ പകുതിയുടെ ഏഴുമടങ്ങ്‌ തീരത്ത്‌ കുണുങ്ങി നടക്കുന്നു. രണ്ട്‌ അരയന്നങ്ങള്‍ പ്രണയബദ്ധരായി സമീപത്തുണ്ട്‌, ആകെ എത്ര അരയന്നങ്ങളുണ്ട്‌? ദ്വിമാന സമീകരണം നിര്‍ദ്ധാരണം ചെയ്യാനുള്ള പ്രശ്നമാണിത്‌.
മറ്റൊരു ഉദാഹരണം: പതിനാറുകാരിയായ യുവതിക്ക്‌ മുപ്പത്തിരണ്ടു നാണയം ലഭിക്കുമെങ്കില്‍ ഇരുപതുകാരിക്ക്‌ എന്തു കിട്ടും? വിപരീതാനുപാതം ആണിവിടെ പ്രതിപാദ്യം.
ഭാസ്കരാചാര്യന്റെ വ്യാഖ്യാതാക്കള്‍
ഭാസ്കരവ്യാഖ്യാനങ്ങളില്‍ നാരായണ പണ്ഡിതന്‍ ലീലാവതിയെ ഉപജീവിച്ച്‌ എഴുതിയ ഗണിതകൌമുദിയാണ്‌ ഏറ്റവും പ്രധാനം. കേരളീയരായ ഗോവിന്ദസ്വാമിയും, ശങ്കരനാരായണനും ഭാസ്കരഗ്രന്ഥങ്ങളുടെ പ്രധാന വ്യാഖ്യാതാക്കളാണ്‌. ഇന്നും പ്രസക്തിനഷ്ടപ്പെടാത്ത ഗണിതഗ്രന്ഥങ്ങളായ അവയെ പുതുതായി പഠിക്കുന്നവര്‍ ഏറെയുണ്ട്‌.