രേഖീയസഞ്ചയം

വിക്കിപീഡിയ, ഒരു സ്വതന്ത്ര വിജ്ഞാനകോശം.
(Linear combination എന്ന താളിൽ നിന്നും തിരിച്ചുവിട്ടതു പ്രകാരം)
Jump to navigation Jump to search

ഒരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളെ ഓരോ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളെക്കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് അവയുടെ തുക കാണുമ്പോൾ ലഭിക്കുന്ന വ്യഞ്ജകത്തെ ഗണിതത്തിൽ അവയുടെ രേഖീയസഞ്ചയം (linear combination) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണമായി, x, y എന്നിവയുടെ രേഖീയസഞ്ചയത്തിന്റെ സാമാന്യരൂപം ax + by ആണ് (ഇവിടെ a, b എന്നിവ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളാണ്).[1][2][3] രേഖീയ ബീജഗണിതത്തിലും ബന്ധപ്പെട്ട ഗണിതശാഖകളിലും ഈ സംക്രിയ പ്രധാന പങ്കു വഹിക്കുന്നു.

നിർവചനം[തിരുത്തുക]

ഒരു ക്ഷേത്രത്തിനു മേലുള്ള സദിശസമഷ്ടിയിലെ രേഖീയസഞ്ചയത്തിന്റെ നിർവചനം നോക്കാം. K ഒരു ക്ഷേത്രവും (ഉദാ: വാസ്തവികസംഖ്യകൾ) V അതിനുമേലുള്ള ഒരു സദിശസമഷ്ടിയും ആണെന്ന് കരുതുക. V യിലെ അംഗങ്ങളെ സദിശങ്ങൾ എന്നും K യിലെ അംഗങ്ങളെ അദിശങ്ങൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു. v1,...,vn എന്നിവ സദിശങ്ങളും a1,...,an എന്നിവ അദിശങ്ങളുമാണെങ്കിൽ ഈ അദിശങ്ങൾ ഗുണോത്തരങ്ങളായുള്ള സദിശങ്ങളുടെ രേഖീയസഞ്ചയം

ആണ്. ഈ വ്യഞ്ജകത്തെത്തന്നെയോ അതിന്റെ വിലയെയോ രേഖീയസഞ്ചയം എന്ന വാക്കുകൊണ്ട് അർത്ഥമാക്കാം.

ഉദാഹരണങ്ങൾ[തിരുത്തുക]

യൂക്ലിഡിയൻ സദിശങ്ങൾ[തിരുത്തുക]

K എന്ന ക്ഷേത്രം വാസ്തവികസംഖ്യകളുടെ ഗണമായ R ആണെന്നും V എന്ന സദിശസമഷ്ടി R3 എന്ന ത്രിമാന യൂക്ലിഡിയൻ സമഷ്ടി ആണെന്നുമിരിക്കട്ടെ. e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1) എന്ന മൂന്ന് സദിശങ്ങളെടുക്കുക. R3 യിലെ ഏത് സദിശത്തെയും e1, e2, e3 എന്നിവയുടെ രേഖീയസഞ്ചയമായി എഴുതാൻ സാധിക്കും. (a1,a2,a3) എന്ന സദിശത്തെ എഴുതുന്നതെങ്ങനെയെന്ന് നോക്കാം:

ഫലനങ്ങൾ[തിരുത്തുക]

K മിശ്രസംഖ്യകളുടെ ഗണമായ C യും V വാസ്തവികസംഖ്യകളിൽ നിന്ന് മിശ്രസംഖ്യകളിലേക്കുള്ള continuous ഫലനങ്ങളുടെ ഗണമായ CC(R) ഉമാണെന്നിരിക്കട്ടെ. f(t) := eit, g(t) := eit എന്ന സദിശങ്ങളെടുക്കുക. (ഇവിടെ e സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ ആധാരവും i എന്നത് -1 ന്റെ വർഗ്ഗമൂലമായ സാങ്കല്പിക ഏകകവുമാണ്.) താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന രണ്ട് ഫലനങ്ങൾ f, g എന്നിവയുടെ രേഖീയസഞ്ചയങ്ങളാണ്:

എന്നാൽ സ്ഥിരാങ്കഫലനമായ 3 ഈ വിധത്തിൽ രേഖീയസഞ്ചയമായി എഴുതാനാവില്ല.

അവലംബം[തിരുത്തുക]

  1. Lay, David C. (2006). Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.). Addison–Wesley. ISBN 0-321-28713-4.
  2. Strang, Gilbert (2006). Linear Algebra and Its Applications (4th ed.). Brooks Cole. ISBN 0-03-010567-6.
  3. Axler, Sheldon (2002). Linear Algebra Done Right (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-98258-2.
"https://ml.wikipedia.org/w/index.php?title=രേഖീയസഞ്ചയം&oldid=2927642" എന്ന താളിൽനിന്ന് ശേഖരിച്ചത്