കോശി-ഷ്വാർസ്‌ അസമവാക്യം

വിക്കിപീഡിയ, ഒരു സ്വതന്ത്ര വിജ്ഞാനകോശം.
Jump to navigation Jump to search

രേഖാഗണിതം, സാധ്യതാതന്ത്രം ആദിയായ ഗണിത മേഖലകളിൽ പ്രമുഖമായി പ്രയോഗിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു തത്വമാണ് കോശി-ഷ്വാർസ്‌ അസമവാക്യം. ഗണിതത്തിലെ തന്നെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടതെന്ന് കരുതപ്പെടുന്ന ഒരു അസമവാക്യമാണിത്.[1]

1821ൽ അഗസ്റ്റിൻ-ലൂയിസ് കോശിയാണ് സങ്കലനങ്ങളുടെ ഇടയിൽ ഈ അസമവാക്യത്തിന്റെ നിലനിൽപ്പ് തെളിയിച്ചത്. 1859ൽ വിക്ടർ ബന്യകോവ്‌സ്‌കിയാണ് സമാകലനങ്ങളിലെ കോശി അസമവാക്യം തെളിയിച്ചത്. ഇതേ തെളിവ് 1888ൽ ഹെർമൻ ഷ്വാർസ്‌ സ്വതന്ത്രമായി കണ്ടെത്തി.[1]

അസമത്വത്തിന്റെസാമാന്യ രൂപം[തിരുത്തുക]

ഒരു ആന്തരിക ഗൗണ്യ ക്ഷേത്രത്തിൽ (inner product space) ഉൾപ്പെടുന്ന u, v എന്ന എല്ലാ സാദിശവസ്തുക്കളും (vectors) ഇപ്രകാരം ബന്ധപ്പെട്ടു കിടക്കുന്നു:

ഇവിടെ എന്നത് കൊണ്ട് ഒരു ആന്തരികഗുണനമാണുദ്ദേശിക്കുന്നത്, ഉദാഹരണത്തിന്, സാദിശവസ്തുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ബൈന്ദവ ഗുണനം (dot product). പ്രസ്തുത സമവാക്യത്തെ ഇങ്ങനെയും എഴുതാവുന്നതാണ്.

ഇവിടെ ഒരു സമവാക്യം ഉണ്ടാകുന്നത് u, v എന്ന സാദിശവസ്തുക്കൾ സമാന്തരമാണെങ്കിൽ മാത്രമാണ്.[2][3][4]

അവലംബം[തിരുത്തുക]

  1. 1.0 1.1 Steele, J. Michael (2004). The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. The Mathematical Association of America. p. 1. ISBN 978-0521546775. ...there is no doubt that this is one of the most widely used and most important inequalities in all of mathematics.
  2. Strang, Gilbert (19 July 2005). "3.2". Linear Algebra and its Applications (4th ed.). Stamford, CT: Cengage Learning. pp. 154–155. ISBN 978-0030105678.
  3. Hunter, John K.; Nachtergaele, Bruno (2001). Applied Analysis. World Scientific. ISBN 981-02-4191-7.
  4. Hassani, Sadri (1999). Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations. Springer. p. 29. ISBN 0-387-98579-4. Equality holds iff <c|c>=0 or |c>=0. From the definition of |c>, we conclude that |a> and |b> must be proportional.