ബ്രക്കിസ്റ്റോക്രോൺ പ്രശ്നം

വിക്കിപീഡിയ, ഒരു സ്വതന്ത്ര വിജ്ഞാനകോശം.

ലംബപ്രതലത്തിലെ രണ്ടു ബിന്ദുക്കൾക്കിടയിൽ ഗുരുത്വാകർഷണത്തിന്റെ മാത്രം സ്വാധീനത്തിൽ ഏറ്റവും കുറച്ചു സമയം കൊണ്ട് സഞ്ചരിക്കുന്ന വസ്തുവിന്റെ സഞ്ചാരപാത ഏതായിരിക്കും എന്ന ചോദ്യമാണ് ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ ബ്രക്കിസ്റ്റോക്രോൺ പ്രശ്നം എന്നറിയപ്പെടുന്നത്. ഈ സഞ്ചാരപാത ഒരു ചക്രാഭം (സൈക്ലോയിഡ്)ആണ്.ഹ്രസ്വം എന്നർത്ഥം വരുന്ന ബ്രക്കിസ്(Brachis),സമയം എന്നർത്ഥം വരുന്ന ക്രോണോസ്(Chronos) എന്നീ ഗ്രീക്ക് പദങ്ങളാണ് പേരിനു പിന്നിൽ.

ചരിത്രം[തിരുത്തുക]

1638-ൽ ഗലീലിയോ ഈ സമസ്യക്ക് ഉത്തരം കണ്ടെത്താൻ നിരവധി പരീക്ഷണങ്ങൾ നടത്തിയിരുന്നുവെങ്കിലും അവയൊന്നും ശരിയായ ഉത്തരം നൽകിയില്ല. ജർമനിയിലെ ആദ്യ ശാസ്ത്രപ്രസിദ്ധീകരണമായ ആക്ട എരുഡിറ്റോറിയ(Acta Eroditorum)ത്തിൽ 1696 ജനുവരി ഒന്നിന് ജൊഹാൻ ബെർണോളി ഈ പ്രശ്നം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. ബെർണോളിയുടെ കുറിപ്പിന് അക്കാലത്തെ പ്രമുഖ ഗണിത ശാസ്ത്രജ്ഞരായിരുന്ന സർ ഐസക് ന്യൂട്ടൺ, എൽ ഹോസ്പിറ്റൽ,ജേക്കബ് ബർണോളി,ഗോട്ട്ഫ്രൈഡ് ലെയ്ബ്നിസ് എന്നിവർ മറുപടി നൽകി. തൊട്ടടുത്ത മെയ് മാസത്തിൽ ഈ ശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ പ്രതികരണവും പ്രശ്നത്തിന്റെ ഉത്തരവും ബർണോളി പ്രസിദ്ധപ്പെടുത്തി.ഈ പ്രശ്നത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചർച്ചകളാണ് പിൽക്കാലത്ത് വ്യതിയാനങ്ങളുടെ കലനം(Calculus of variations)എന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര രീതിയുടെ വളർച്ചയ്ക്കും ഓയിലർ സമവാക്യ(Euler Equation)ത്തിന്റെ കണ്ടുപിടുത്തത്തിനും വഴിയൊരുക്കിയത്.

പ്രശ്നം[തിരുത്തുക]

ബ്രക്കിസ്റ്റോക്രോൺ പ്രശ്നം വിശദമാക്കുന്ന ചിത്രം

ഒരു ലംബപ്രതലത്തിൽ A,B എന്നിങ്ങനെ രണ്ടു ബിന്ദുക്കളുണ്ടെന്നിരിക്കട്ടെ. ഗുരുത്വാകർഷണത്തിന്റെ മാത്രം സ്വാധീനത്തിൽ Aയിൽ നിന്നും യാത്രയാരംഭിക്കുന്ന ഒരു വസ്തു ഏറ്റവും ചുരുങ്ങിയ സമയം കൊണ്ട് Bയിലെത്തണമെങ്കിൽ വസ്തു ഏത് പാത സ്വീകരിക്കണം?

ഉത്തരം[തിരുത്തുക]

ഒരു വളരെച്ചെറിയ ദൂരം സഞ്ചരിക്കാൻ വസ്തു എടുക്കുന്ന സമയം കണ്ടെത്തി സമാകലനം നടത്തിയാൽ ആകെ ദൂരം സഞ്ചരിക്കാൻ വസ്തു എടുക്കുന്ന സമയം ലഭിക്കും. ഈ സമാകലനസമവാക്യത്തിന് ഏറ്റവും ചെറിയ ഉത്തരം ലഭിക്കത്തക്കവിധം വസ്തു സഞ്ചരിക്കുന്ന പാതയാണ് കണ്ടെത്തേണ്ടത്.

അതായത്, ആകെ സമയം , T=\int{dt} = \int{\frac{ds}{v}}
ഇവിടെ v വസ്തുവിന്റെ പ്രവേഗം ആണ്. വസ്തു സ്ഥിരാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് യാത്രയാരംഭിക്കുന്നു എന്ന് അനുമാനിച്ചാൽ y=0 ആയിരിക്കുമ്പോൾ v=0 ആയിരിക്കും.

വസ്തു ഏറ്റവും കുറച്ചു സമയമെടുക്കുന്ന പാതയിൽ ഈ സമാകാലത്തിന്റെ വില ഏറ്റവും ചെറുതായിരിക്കും.

ഊർജ്ജ സംരക്ഷണനിയമപ്രകാരം;

\frac{1}{2}mv^{2}=mgy

\therefore v=\sqrt{2gy}

അപ്പോൾ ആകെ സമയം ; T=\int \sqrt{\frac{1+\dot{y}^{2}}{2gy}}dx=\int F dx

ഇവിടെ F=\sqrt{\frac{1+\dot{y}^{2}}{2gy}} ആണ്.

സമാകലം ഏറ്റവും ചെറുതാകുന്നത് F ഓയിലർ സമവാക്യം അനുസരിക്കുമ്പോഴാണ്.അതായത്,
\frac{d}{dx}(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}})-\frac{\partial f}{
\partial y}=0 ആയിരിക്കണം

അങ്ങനെ ലഭിക്കുന്ന അവകലനസമവാക്യത്തിന്റെ നിർദ്ധാരണമൂല്യം;

\frac{y}{a}=1-Cos\left( \frac{x+\sqrt{y(2a-y)}}{a}\right)[1]എന്ന രൂപത്തിലായിരിക്കും.ഇത് ഒരു സൈക്ലോയിഡിന്റെ സമവാക്യമാണ്.

അവലംബം[തിരുത്തുക]

  1. ഗോൾഡ്സ്റ്റൈൻ, ഹെർബർട്ട്‍; ചാൾസ് പൂൾ, ജോൺ സാഫ്കോ. Classical Mechanics. ഡോർലിൻ കിൻഡേഴ്സ്‌ലി. ഐ.എസ്.ബി.എൻ. 978-81-7758-283-3.