അവകലസമവാക്യം

വിക്കിപീഡിയ, ഒരു സ്വതന്ത്ര വിജ്ഞാനകോശം.

ഏകദങ്ങളും അവയുടെ അവകലജങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തെ കുറിക്കുന്ന സമവാക്യമാണ് അവകലസമവാക്യം. സാധാരണ അവകല സമവാക്യങ്ങൾ, ആംശിക അവകല സമവാക്യങ്ങൾ എന്നീ വിഭാഗങ്ങളായി അവകല സമവാക്യങ്ങളെ തരം തിരിക്കാവുന്നതാണ്. എഞ്ചിനീയറിംഗ്, ഭൗതികശാസ്ത്രം, രസതന്ത്രം എന്നീ മേഖലകളിൽ വളരെയധികം പ്രായോകിഗ സാധ്യതയുള്ളവയാണ് അവകലസമവാക്യങ്ങൾ.

y = f(x) അഥവാ u = f(x,y,.....t) എന്ന ഒന്നോ അതിലധികമോ ചരങ്ങളുടെ ഒരു ഫലനം നേരിട്ടറിവില്ല; എന്നാൽ അവയുടെ അവകലജങ്ങൾ ഒരു സമവാക്യം അനുസരിക്കുന്നു എന്നറിയാം; ഈ നിലയിൽ ഫലനം കണ്ടുപിടിക്കേണ്ട ആവശ്യം ശുദ്ധഗണിതത്തിലും പ്രയുക്തഗണിതത്തിലും പലപ്പോഴും ഉദ്ഭവിക്കുന്നു. ഉദാ: ഒരു വക്രത്തിന്റെ വക്രതാ ആരം തന്നിരുന്നാൽ വക്രം കാണുക; ഒരു വസ്തുവിന്റെ സ്ഥാനവും പ്രവേഗവും ത്വരണവും തമ്മിൽ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യത്തിൽനിന്നും അതിന്റെ ഗതി നിർണയിക്കുക; ഒരു റേഡിയോ ആക്ടീവ് പദാർഥത്തിന്റെ ക്ഷയനിരക്ക് അറിയാമെങ്കിൽ അർധായൂസ് കാണുക; തുടങ്ങിയ പ്രശ്നങ്ങൾ നിർധാരണം ചെയ്യാൻ അവകല സമവാക്യങ്ങൾ പ്രയോജനപ്പെടുന്നു.

നാമകരണം[തിരുത്തുക]

സാധാരണ, ആംശിക അവകല സമവാക്യങ്ങൾ[തിരുത്തുക]

രേഖീയ, അരേഖീയ അവകല സമവാക്യങ്ങൾ[തിരുത്തുക]

  • കൃതി ഒന്നായതും അവകലജങ്ങൾ പരസ്പരം ഗുണിക്കപ്പെടാതെയും ഉള്ള രൂപത്തിൽ കാണപ്പെടുന്നവയാണ് രേഖീയ അവകല സമവാക്യങ്ങൾ.
  • രേഖീയം അല്ലാത്ത എല്ലാ അവകല സമവാക്യങ്ങളും അരേഖീയമാണ്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ[തിരുത്തുക]

u എന്നത് xന്റെ ഏകദവും c, ω എന്നിവ സ്ഥിരസംഖ്യകളും ആണെന്ന് കരുതുക.

  • ഏകാത്മകമല്ലാത്ത കോടി ഒന്നായ രേഖീയ സ്ഥിര ഗുണക സാധാരണ അവകല സമവാക്യം:
 \frac{du}{dx} = cu+x^2.
  • കോടി രണ്ടായ ഏകാത്മക രേഖീയ സാധാരണ അവകല സമവാക്യം:
 \frac{d^2u}{dx^2} - x\frac{du}{dx} + u = 0.
 \frac{d^2u}{dx^2} + \omega^2u = 0.
  • ഏകാത്മകമല്ലാത്ത കോടി ഒന്നായ അരേഖീയ സാധാരണ അവകല സമവാക്യം:
 \frac{du}{dx} = u^2 + 1.
  • L നീളമുള്ള പെൻഡുലത്തിന്റെ സഞ്ചാരത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന കോടി രണ്ടായ അരേഖീയ സാധാരണ അവകല സമവാക്യം:
 L\frac{d^2u}{dx^2} + g\sin u = 0.


u എന്നത് x, t എന്നിവയുടേതോ x, y എന്നിവയുടേതോ ഏകദമാണെന്ന് കരുതുക.

  • ഏകാത്മക രേഖീയ ആംശിക അവകല സമവാക്യം:
 \frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 0.
  • എലിപ്റ്റിക് രൂപത്തിലുള്ള കോടി രണ്ടായ ഏകാത്മക രേഖീയ രേഖീയ സ്ഥിര ഗുണക ആംശിക അവകല സമവാക്യം, ലാപ്ലേസ് സമവാക്യം:
 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0.
 \frac{\partial u}{\partial t} = 6u\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}.


"http://ml.wikipedia.org/w/index.php?title=അവകലസമവാക്യം&oldid=1723832" എന്ന താളിൽനിന്നു ശേഖരിച്ചത്