അവകലസമവാക്യം

ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം

http://ml.wikipedia.org/wiki/Differential_equation

ഫലനങ്ങളും(Function) അവയുടെ അവകലജങ്ങളും (derivatives) തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തെ കുറിക്കുന്ന സമവാക്യമാണ് അവകലസമവാക്യം. സാധാരണ അവകല സമവാക്യങ്ങൾ (Ordinary Differential Equations), ആംശിക അവകല സമവാക്യങ്ങൾ (Partial Differential Equations) എന്നീ വിഭാഗങ്ങളായി അവകല സമവാക്യങ്ങളെ തരം തിരിക്കാവുന്നതാണ്.

ആമുഖം

y = f(x) അഥവാ u = f(x,y,.....t) എന്ന ഒന്നോ അതിലധികമോ ചരങ്ങളുടെ ഒരു ഫലനം നേരിട്ടറിവില്ല; എന്നാൽ ളന്റെ അവകലജങ്ങൾ ഒരു സമവാക്യം അനുസരിക്കുന്നു എന്നറിയാം; ഈ നിലയിൽ ഫലനം കണ്ടുപിടിക്കേണ്ട ആവശ്യം ശുദ്ധഗണിതത്തിലും പ്രയുക്തഗണിതത്തിലും പലപ്പോഴും ഉദ്ഭവിക്കുന്നു. ഉദാ. ഒരു വക്രത്തിന്റെ വക്രതാ-ആരം (radius of curvature) തന്നിരുന്നാൽ വക്രം കാണുക; ഒരു വസ്തുവിന്റെ സ്ഥാനവും പ്രവേഗവും ത്വരണ(acceleration)വും തമ്മിൽ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യത്തിൽനിന്നും അതിന്റെ ഗതി നിർണയിക്കുക; ഒരു റേഡിയോ ആക്ടീവ് പദാർഥത്തിന്റെ ക്ഷയനിരക്ക് അറിയാമെങ്കിൽ അർധായൂസ് കാണുക; തുടങ്ങിയ പ്രശ്നങ്ങൾ നിർധാരണം ചെയ്യാൻ അവകല സമവാക്യങ്ങൾ പ്രയോജനപ്പെടുന്നു.

ഒരു സ്വതന്ത്രചരം മാത്രമുള്ള അവകല സമവാക്യങ്ങളെ [ഉദാ:y = f(x)] സാധാരണ അവകല സമവാക്യങ്ങൾ (Ordinary Differential Equations) എന്നു പറയുന്നു. ഈ സമവാക്യങ്ങളുടെ സാമാന്യരൂപം F(x,y,y',y",y"'....y⁽ⁿ⁾ = 0 എന്നാണ്. ്y യുടെ അവകലജങ്ങളാണ് y',y",y"'....y⁽ⁿ⁾

രണ്ടോ അതിൽ കൂടുതലോ സ്വതന്ത്ര ചരങ്ങളുള്ള അവകല സമവാക്യങ്ങളെ [ഉദ. u = f(x,y,...,t)] ആംശിക അവകല സമവാക്യങ്ങൾ (Partial Differential Equations) എന്നാണ് പറയുന്നത്. ഇവയുടെ സാമാന്യരൂപം F(x,y,u,u_x,_y,u_xx,u_xy= +u_yy)= 0 അവകലജ കോടി (order), രണ്ട് ആയിട്ടുള്ളതും x,y എന്നീ രണ്ട് സ്വതന്ത്രചരങ്ങളുള്ളതുമായ സമവാക്യത്തിന്റെ സാമാന്യരൂപമാണിത്.

$u=u(x,y), u_x = \frac{\part u}{\partial x} , u_y = \frac{\part u}{\partial y} , u_{xx} = {\part^2 u \over \partial x^2} , u_{xy} = {\part^2 u \over \partial y\, \partial x}, u_{yy} = \frac{\part^2 u}{\partial y^2}$

എന്നിവ u എന്ന ഫലനത്തിന്റെ ആംശിക അവകലജങ്ങളാണ്.

ഒന്നിലധികം ഫലനങ്ങളുടെ അവകലജങ്ങൾ ഉൾപ്പെട്ട സമവാക്യ വ്യൂഹങ്ങളും ഉണ്ടാകാം. അവ യൗഗപദിക അവകല സമവാക്യങ്ങൾ(simultaneous) എന്നറിയപ്പെടുന്നു.

ഒരു അവകലസമവാക്യത്തിലുള്ള അവകലജങ്ങളിൽ ഏറ്റവും ഉയർന്ന അവകലജകോടി ആണ് ആ വാക്യത്തിന്റെ കോടി.

കടപ്പാട്: ഈ ലേഖനം, കേരള സർക്കാർ ഗ്നൂ സ്വതന്ത്ര പ്രസിദ്ധീകരണാനുമതി പ്രകാരം ഓൺലൈനിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച മലയാളം സർ‌വ്വവിജ്ഞാനകോശത്തിലെ അവകലസമവാക്യം എന്ന ലേഖനത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കം ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ട്. വിക്കിപീഡിയയിലേക്കു് പകർത്തിയതിനു് ശേഷം പ്രസ്തുത ഉള്ളടക്കത്തിനു് സാരമായ മാറ്റങ്ങൾ വന്നിട്ടുണ്ടാകാം.