അഭാജ്യസംഖ്യ

ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം

http://ml.wikipedia.org/wiki/Prime_number

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, രണ്ട് എണ്ണൽ സംഖ്യാ ഘടകങ്ങൾ മാത്രമുള്ള എണ്ണൽ സംഖ്യകളെ അഭാജ്യസംഖ്യകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഘടകങ്ങൾ 1-ഉം ആ സംഖ്യയും മാത്രമായിരിക്കും. അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗണത്തെ സൂചിപ്പിക്കാൻ $\mathbb{P}$ ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്. അഭാജ്യസംഖ്യകൾ അനന്തമാണെന്ന് 300 ബിസി-ക്കടുത്ത് യൂക്ലിഡ് തെളിയിച്ചിരുന്നു. ആദ്യ മുപ്പത്തിനാല് അഭാജ്യസംഖ്യകൾ താഴെ ചേർത്തിരിക്കുന്നു:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139

ഒന്ന്(1) നിർവചനമനുസരിച്ച് ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയല്ല. അഭാജ്യസംഖ്യയായ ഒരേയൊരു ഇരട്ട സംഖ്യ രണ്ട് (2) ആണ്.

ഒന്നും അതേ സംഖ്യയും ഒഴികെ മറ്റൊരു പൂർണസംഖ്യയും ഘടകമായി ഇല്ലാത്ത പൂർണസംഖ്യ. ഉദാ. 2, 3, 5, 7, 11, 13, ..... ഈ അനുക്രമം അനന്തം ആണ്. അഭാജ്യസംഖ്യയല്ലാത്ത പൂർണസംഖ്യകളെ സംയുക്തസംഖ്യകൾ (composite numbers) എന്നു പറയുന്നു. ഏതു സംയുക്തസംഖ്യയും അതിന്റെ അഭാജ്യഘടകങ്ങളായി പിരിച്ചെഴുതാം; 24 = 2³ x 3. ഈ വസ്തുത അങ്കഗണിതത്തിലെ മൌലിക സിദ്ധാന്തം എന്നറിയപ്പെടുന്നു.

എറാട്ടോസ്ത്തനീസ് എന്ന ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ അഭാജ്യസംഖ്യകളെ മറ്റു പൂർണസംഖ്യകളിൽനിന്ന് അരിച്ചെടുക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാർഗം (ബി.സി. 240) കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്. 'എറാട്ടോസ്ത്തനീസിന്റെ അരിപ്പ' (Sieve of Eratosthanes) എന്നാണ് അതിനു പേര്. 100 വരെയുള്ള എല്ലാ അഭാജ്യസംഖ്യകളും കണ്ടുപിടിക്കാൻ, ഈ മാർഗംവഴി 2, 3, 5, 7 എന്നിവയുടെ 100-ൽ താഴെ വരുന്ന പെരുക്കങ്ങളെ മാറ്റിക്കളയുകയാണ്. 100-ന്റെ വർഗമൂലം വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ പെരുക്കങ്ങൾ മാറ്റിയാൽ മതിയാകും. ശേഷിക്കുന്നത് അഭാജ്യസംഖ്യകൾ ആയിരിക്കും.

അഭാജ്യസംഖ്യയ്ക്ക് ഒരു ഗണിതസൂത്രം കണ്ടെത്താൻ പൈതഗോറസ് എന്ന ഗ്രീക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ മുതൽ പലരും ശ്രമിച്ചിട്ടുണ്ട്; ഇന്നേവരെ പൂർണമായി വിജയിച്ചിട്ടില്ല. എറാട്ടോസ്ത്തനീസിന്റെ മാർഗം ശ്രമകരമാണ്. കേംബ്രിഡ്ജിലെ പ്രൊഫസർ ആയിരുന്ന എഡ്വേർഡ് വെയറിങ് ഒരു മാർഗം രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ ശിഷ്യനായ ജോൺ വിൽസൺ (1741-93) ആണ് ഈ മാർഗം (വിൽസൺ തിയറം) കണ്ടുപിടിച്ചത്. ഇതനുസരിച്ച്, (n -1) ! + 1 എന്ന സംഖ്യയെ കൃത്യമായി n കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ n ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ ആയിരിക്കും. ഉദാ.

n = 7, (n -1)! = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.

(n - 1)! + 1 = 721, 721-നെ 7 കൊണ്ട് കൃത്യമായി ഹരിക്കാൻ കഴിയും. 7 ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ ആണ്. എന്നാൽ 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1-നെ 1 മുതൽ 6 വരെയുള്ള എല്ലാ പൂർണസംഖ്യകൾകൊണ്ടും കൃത്യമായി ഹരിക്കാൻ കഴിയും. അതുകൊണ്ട് 6! + 2, 6! + 3, 6! + 4,6! + 5, 6! + 6 എന്നിവയൊന്നും അഭാജ്യമല്ല.

2 ഒഴികെ മറ്റെല്ലാ അഭാജ്യങ്ങളും ഒറ്റസംഖ്യകളാണ്. അനന്തം അഭാജ്യസംഖ്യകൾ ഉണ്ടെന്ന് പ്രാചീന ഗ്രീക് ഗണിതാചാര്യനായ യൂക്ളിഡ് തെളിയിച്ചു (ഏകദേശം ബി.സി. 280). ഏത് ഇരട്ടസംഖ്യയും രണ്ട് അഭാജ്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ആയിരിക്കുമെന്ന് ഊഹിക്കപ്പെടുന്നു. ക്രിസ്ത്യൻ ഗോൾഡ് ബാഷ് എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്റെ പേരിൽ അറിയപ്പെടുന്ന ഈ 'ഊഹം' 1742-ൽ ആണ് അവതരിപ്പിക്കപ്പെട്ടത്: ഗോൾഡ് ബാഷ് ഗൃഹീതം. ഉദാ. 2 = 1 + 1, 100 = 11 + 89. ഓരോ ഇരട്ടസംഖ്യയും 3,00,000-ത്തിൽ കവിയാത്ത അത്ര അഭാജ്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ആണെന്ന 1931-ലും 1-ൽ കവിഞ്ഞ ഓരോ ഒറ്റസംഖ്യയും 3-ൽ കവിയാത്തത്രയുടേതെന്ന് പിന്നീടും തെളിയിക്കുകയുണ്ടായി. ഓരോ ഇരട്ടസംഖ്യയും 4-ൽ കവിയാത്തത്ര അഭാജ്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണെന്ന് ഇതിൽനിന്ന് മനസ്സിലാക്കാം. ഗോൾഡ് ബാഷ് ഗൃഹീതം തെറ്റാണെന്നതിന് ഒറ്റ തെളിവുപോലും കിട്ടിയില്ലെങ്കിലും ശരിയാണെന്ന് ഇതേവരെ തെളിയിച്ചിട്ടില്ല.

അവലംബം

കടപ്പാട്: ഈ ലേഖനം, കേരള സർക്കാർ ഗ്നൂ സ്വതന്ത്ര പ്രസിദ്ധീകരണാനുമതി പ്രകാരം ഓൺലൈനിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച മലയാളം സർ‌വ്വവിജ്ഞാനകോശത്തിലെ അഭാജ്യസംഖ്യ എന്ന ലേഖനത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കം ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ട്. വിക്കിപീഡിയയിലേക്കു് പകർത്തിയതിനു് ശേഷം പ്രസ്തുത ഉള്ളടക്കത്തിനു് സാരമായ മാറ്റങ്ങൾ വന്നിട്ടുണ്ടാകാം.